Enoncé

La solution est $\dfrac{1}{4}$.

Il s’agit d’un problème de probabilité géométrique qui se résout en calculant des aires de régions dans le plan. En choisissant au hasard deux nombres $a$ et $b$ avec $0 < a < b < 1$, notre espace de probabilité est :
\[ \Omega= \{(a,b) \, \text{dans le plan} \quad \text{tels que} \quad 0 < a < b < 1\}, \]
c’est-à-dire l’ensemble des couples $(a,b)$ situés dans le triangle $\Omega$ :

Notons que l’aire de $\Omega$ est $\frac{1}{2}$. En coupant le câble en deux points $a$ et $b$, nous obtenons trois segments : le premier de longueur $a$, le second de longueur $b-a$, et le troisième de longueur $1-b$. Une condition nécessaire et suffisante pour pouvoir former un triangle est que ces trois segments satisfassent l’inégalité du triangle dans tous les ordres possibles, c’est-à-dire :
\[ \begin{eqnarray} a+(b-a) & \geq & (1-b) \quad \text{c'est-à-dire} \qquad b \geq\frac{1}{2}\label{ecfed1} \\ a+(1-b) & \geq & (b-a) \quad \text{c'est-à-dire} \qquad b \leq\frac{2a+1}{2} \label{ecfed2} \\ (b-a)+(1-b) &\geq &a \;\quad\qquad \text{c'est-à-dire} \qquad a \leq \frac{1}{2}. \label{ecfed3} \end{eqnarray} \]
La région $A$ de $\Omega$ qui satisfait aux équations (1), (2) et (3) est :
\[ A=\left\{(a,b)\,\text{dans} \, \Omega \quad \text{tel que} \quad a\leq\frac{1}{2}, \quad b\geq\frac{1}{2} \quad \text{et} \quad b\leq \frac{2a+1}{2}\right\}. \]

Sur un graphique, cela donne :

$A$ est un triangle totalement inclus dans le triangle $\Omega$ et d’aire $\frac{1}{8}$. Donc la probabilité de former un triangle est :
$$ P(\text{Former un triangle})=\frac{ \text{Aire de $A$}}{\text{Aire de $\Omega$}}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}. $$