Novembre 2020, 1er défi

Le 6 novembre 2020 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 45

Soit $S$ un sous-ensemble de $\{1,2,3,\dots,30\}$ vérifiant
qu’il n’existe pas deux éléments de $S$ dont la somme est divisible
par $5$. Quel est le plus grand nombre possible d’éléments de $S$ ?

Solution du 5e défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est $209$.

Notons $abc$ le nombre à trois chiffres cherché, avec $a$, $b$, $c$ des chiffres. Le nombre obtenu en inversant l’ordre de ses chiffres est donc $cba$. La somme $x$ de ces deux nombres est donc

\[ \begin{eqnarray*} x & = &10^2a+10b+c+10^2c+10b+a\\ & = & (a+c)10^2 +(2b)10 + (a+c). \end{eqnarray*} \]

Comme tous les chiffres de $x$ doivent être impairs et que $2b$ est pair, il est nécessaire que $a+c$ vaille au moins $10$.

Mais $a+c$ ne peut pas valoir $10$ sinon $x$ se terminerait par $0$ qui est pair.

$a+c$ vaut donc au moins $11$. Donc $a$ vaut au moins $2$.

Comme on cherche $abc$ le plus petit possible, essayons avec $a=2$.

Dans ce cas $c=9$ (car $a+c$ vaut au moins $11$) et le nombre $abc$ sera alors minimum pour $b=0$.

Dans ce cas, $abc=209$, $cba=902$ et $x=209+902=1111$ ne possède que des chiffres impairs.

Le nombre cherché est donc $209$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Novembre 2020, 1er défi

le 6 novembre 2020 à 08:53, par Al_louarn

Il est clair que $S$ contient au plus un multiple de $5$ parmi les $6$ possibles entre $1$ et $30$.
D’autre part les $24$ autres nombres peuvent être répartis en $12$ paires interdites : $1+29, 2+28, ..., 14+16$
Si $S$ contenait au moins $13$ nombres parmi ces $24$ alors il contiendrait forcément une paire interdite.
Donc $S$ contient au plus $12$ de ces $24$ nombres. Au total on peut donc espérer au mieux $13$ nombres dans $S$.
On peut atteindre ce maximum en prenant par exemple $5$, les $6$ nombres de la forme $5k+1$ et les $6$ nombres de la forme $5k+3$, car la somme de $2$ d’entre eux est toujours de la forme $5k+1$, $5k+2$, $5k+3$ ou $5k+4$.
$S=1,3,5,6,8,11,13,16,18,21,23,26,28$.
La réponse est donc $13$.
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Novembre 2020, 1er défi

le 6 novembre 2020 à 10:30, par François

Les classes de congruence modulo 5 contiennent toutes 6 éléments dans $\{1, ...,30\}$. La classe de 5 est exclue , à moins que dans l’énoncé on sous-entende deux éléments distincts auquel cas on rajoute à $S$ un multiple de 5 et un seul. Les autres classes compatibles entre elles sont 1 avec 2 , 1 avec 3, 2 avec 4, et enfin 3 avec 4. $S$ est constitué de deux classes soit 2*6 = $12$ éléments (voire $13$ en ajoutant un multiple de 5). Les 4 possibilités sont :
$S = \{1,2,6,7,11,12,16,17,21,22,26,27\}$
$S = \{1,3,6,8,11,13,16,18,21,23,26,28\}$
$S =\{2,4,7,9,12,14,17,19,22,24,27,29\}$
$S = \{3,4,8,9,13,14,18,19,23,24,28,29\} $
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