Un défi par semaine

Novembre 2020, 3e défi

El 20 noviembre 2020  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 47

Le pentagone $ABECD$ est formé d’un carré $ABCD$ dont les côtés
mesurent $8$ cm et d’un triangle $BEC$ tel que $EB=EC$.
Si ce pentagone a une aire égale à $90$ cm$^2$, quelle est
l’aire du triangle $ECA$ ?

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Solution du 2e défi de novembre :

Enoncé

La réponse est $\,55$ euros.

Soient $A_n$, $B_n$ et $C_n$ les quantités d’argent que possèdent
Adèle, Louis et Camille après la $n^{\text{ème}}$ partie.
On sait que $A_3=B_3=C_3=27$.

Comme Camille a perdu en dernier, on a les égalités :
\[ \begin{eqnarray*} A_2 &=& \frac{27}{3} = 9\\ B_2 &=& \frac{27}{3}=9\\ C_2 &=& 27+18+18=63. \end{eqnarray*} \]

Comme Louis a perdu la deuxième partie, on a :
\[ \begin{eqnarray*} A_1 &=& \frac{9}{3} = 3\\ B_1 &=& 9+6+42=57\\ C_1 &=& \frac{63}{3}=21. \end{eqnarray*} \]

Finalement, comme Adèle a perdu la première partie :
\[ \begin{eqnarray*} A_0 &=& 3+38+14=55\\ B_0 &=& \frac{57}{3}=19\\ C_0 &=& \frac{21}{3}=7. \end{eqnarray*} \]

Ainsi, Adèle possédait initialement $55\,$ euros, Louis $19\,$ euros
et Camille $7\,$ euros.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Novembre 2020, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada -
  • GORUFUCERAMIST / SHUTTERSTOCK

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  • Novembre 2020, 3e défi

    le 20 de noviembre de 2020 à 08:29, par Sidonie

    On trace les segments AF, CF et EF. Le triangle ACE est partagé en 3 triangles.
    AEF et CEF ont la même aire (même base, même hauteur) et la somme de leurs aires est l’aire du triangle isocèle BCE.
    Pour la même raison, ACF et DCF ont la même aire, or l’aire de de DCF est un quart de l’aire du carré.
    L’aire ACE est donc l’aire du pentagone moins trois quart de l’aire du carré.
    aire ACE = 90 - 0,75x8² = 42 cm²

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