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Un défi par semaine

Novembre 2020, 3e défi

Le 20 novembre 2020 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 47

Le pentagone $ABECD$ est formé d’un carré $ABCD$ dont les côtés
mesurent $8$ cm et d’un triangle $BEC$ tel que $EB=EC$.
Si ce pentagone a une aire égale à $90$ cm$^2$, quelle est
l’aire du triangle $ECA$ ?

Solution du 2e défi de novembre :

Enoncé

La réponse est $\,55$ euros.

Soient $A_n$, $B_n$ et $C_n$ les quantités d’argent que possèdent
Adèle, Louis et Camille après la $n^{\text{ème}}$ partie.
On sait que $A_3=B_3=C_3=27$.

Comme Camille a perdu en dernier, on a les égalités :
\[ \begin{eqnarray*} A_2 &=& \frac{27}{3} = 9\\ B_2 &=& \frac{27}{3}=9\\ C_2 &=& 27+18+18=63. \end{eqnarray*} \]

Comme Louis a perdu la deuxième partie, on a :
\[ \begin{eqnarray*} A_1 &=& \frac{9}{3} = 3\\ B_1 &=& 9+6+42=57\\ C_1 &=& \frac{63}{3}=21. \end{eqnarray*} \]

Finalement, comme Adèle a perdu la première partie :
\[ \begin{eqnarray*} A_0 &=& 3+38+14=55\\ B_0 &=& \frac{57}{3}=19\\ C_0 &=& \frac{21}{3}=7. \end{eqnarray*} \]

Ainsi, Adèle possédait initialement $55\,$ euros, Louis $19\,$ euros
et Camille $7\,$ euros.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Novembre 2020, 3e défi

le 20 novembre 2020 à 08:29, par Sidonie

On trace les segments AF, CF et EF. Le triangle ACE est partagé en 3 triangles.
AEF et CEF ont la même aire (même base, même hauteur) et la somme de leurs aires est l’aire du triangle isocèle BCE.
Pour la même raison, ACF et DCF ont la même aire, or l’aire de de DCF est un quart de l’aire du carré.
L’aire ACE est donc l’aire du pentagone moins trois quart de l’aire du carré.
aire ACE = 90 - 0,75x8² = 42 cm²
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Novembre 2020, 3e défi

le 20 novembre 2020 à 09:10, par Al_louarn

Ou plus simplement :
L’aire de $ACE$ est celle du pentagone moins celles de $ABE$ et $ACD$.
L’aire de $ABE$ est celle de $ABF$ car même base et même hauteur, donc un quart de l’aire du carré.
L’aire de $ACD$ est la moitié de l’aire du carré.
L’aire de $ACE$ est donc celle du pentagone moins trois quarts de celle du carré.
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Novembre 2020, 3e défi

le 20 novembre 2020 à 21:11, par dpmontange

Solution sans mots
Document joint : image_20.11.20_a_20.31.jpg
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Novembre 2020, 3e défi

le 21 novembre 2020 à 11:54, par ROUX

Une suite dessinée et juste à la fin : 90-3/4*8*8=42 ;-)
D’ailleurs, c’est la suite de Al-jouarn.
Document joint : defi_idm_ve_20_11_20.pdf
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Novembre 2020, 3e défi

le 23 novembre 2020 à 20:29, par drai.david

Finalement, $Aire(ACE)=Aire(ABECD)-\frac{3}{4}AB^2$
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