Enoncé

La réponse est $42$ cm$^2$.

Observons que les droites $(AC)$ et $(AE)$ séparent le pentagone
en trois triangles.
L’aire recherchée est alors égale à l’aire du pentagone à laquelle on doit soustraire les aires des triangles $ACD$ et $ABE$.

Comme $[AC]$ est la diagonale du carré $ABCD$, l’aire du triangle $ACD$ mesure $\frac{8\times8}{2}=32\,\text{cm}^2$.

Comme le triangle $BEC$ est isocèle en $E$, le pied de sa hauteur issue de $E$, noté $F$, est le milieu du segment $[CB]$.

Cela entraîne que $FB=4\,\text{cm}$ et la hauteur issue de $E$ du triangle $ABE$ mesure $4\,\text{cm}$.

Le triangle $ABE$, de base $AB=8\,\text{cm}$ et de hauteur $4\,\text{cm}$, a donc pour aire $\frac{8\times 4}{2}=16\,\text{cm}^2$. L’aire du triangle $ECA$
est donc égale à $90-32-16=42\,\text{cm}^2$.