Novembre 2020, 4e défi

Le 27 novembre 2020 - Ecrit par Rechtman, Ana Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 48

Trouver tous les couples $(x,y)$ formés de nombres
entiers positifs ou nuls vérifiant l’équation $x^3y+x+y=xy+2xy^2$.

Solution du 3e défi de novembre :

Enoncé

La réponse est $42$ cm$^2$.

Observons que les droites $(AC)$ et $(AE)$ séparent le pentagone
en trois triangles.
L’aire recherchée est alors égale à l’aire du pentagone à laquelle on doit soustraire les aires des triangles $ACD$ et $ABE$.

Comme $[AC]$ est la diagonale du carré $ABCD$, l’aire du triangle $ACD$ mesure $\frac{8\times8}{2}=32\,\text{cm}^2$.

Comme le triangle $BEC$ est isocèle en $E$, le pied de sa hauteur issue de $E$, noté $F$, est le milieu du segment $[CB]$.

Cela entraîne que $FB=4\,\text{cm}$ et la hauteur issue de $E$ du triangle $ABE$ mesure $4\,\text{cm}$.

Le triangle $ABE$, de base $AB=8\,\text{cm}$ et de hauteur $4\,\text{cm}$, a donc pour aire $\frac{8\times 4}{2}=16\,\text{cm}^2$. L’aire du triangle $ECA$
est donc égale à $90-32-16=42\,\text{cm}^2$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2020 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Novembre 2020, 4e défi

le 27 novembre 2020 à 08:40, par François

On constate aisément que $x$ divise $y$ et que $y$ divise $x$, donc $x = y$.
L’équation devient $x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x = x(x^2 - 1)(x - 2) = 0$.
Les solutions entières positives sont donc $(0,0) , (1,1) (2,2)$.
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