Novembre 2021, 4e défi

Le 26 novembre 2021 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette aventure.

Semaine 47

Deux personnes marchent sur un escalator en fonctionnement. L’une des deux marche trois fois plus vite que l’autre. Lors de la montée, l’une des personnes compte $75$ marches alors que l’autre en compte $50$. Combien de marches de l’escalator faudrait-il monter s’il était à l’arrêt ?

Solution du 3e défi de novembre :

Enoncé

La réponse est : $66$.

Les neuf sommets de l’ennéagone déterminent ${9\choose 2}=36$ segments reliant deux des sommets. Chacun de ces segments détermine deux triangles équilatéraux, un de chaque côté.

La difficulté est que certains de ces $36 \times 2 = 72$ triangles sont confondus : plus précisément, si un triangle $BCD$ a ses trois sommets qui sont également sommets de l’ennéagone, on l’a compté trois fois dans le dénombrement précédent (à partir du segment $[BC]$, à partir du segment $[BD]$ et à partir du segment $[CD]$).

Il faut donc compter ces triangles exceptionnels, et retrancher deux fois leur nombre à $72$ pour obtenir le résultat correct.

Pour former un triangle équilatéral à partir des sommets d’un ennéagone régulier, la seule possibilité est de choisir un sommet sur trois. Il y a donc trois triangles équilatéraux dont tous les sommets sont également sommets de l’ennéagone : $A_1A_4A_7$, $A_2A_5A_8$ et $A_3A_6A_9$.

Ainsi, le nombre cherché est $72-2 \times 3=66$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

Commentaire sur l'article

Novembre 2021, 4e défi

le 26 novembre à 13:49, par Al_louarn

Supposons que les deux marcheurs démarrent en même temps l’ascension de l’escalator. Quand le plus rapide arrive en haut, par rapport au sol il a avancé de la longueur totale $x$ de l’escalator (en nombre de marches), et de $75$ marches par rapport à l’escalator. Donc si l’escalator a avancé de $y$ marches, alors $x = y + 75$.
L’autre marcheur, qui va $3$ fois moins vite, n’a parcouru que $\dfrac{75}{3} = 25$ marches par rapport à l’escalator, soit la moitié des $50$ qu’il doit monter pour arriver au sommet. Il est donc à mi-distance, ce qui se traduit par $\dfrac{x}{2} = y + 25$.
Des deux équations on tire $x = 100$ marches.
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