Un défi par semaine

Novembre 2021, 4e défi

Le 26 novembre 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2021 est en vente ! Il s’intitule : « Le ciel dans tous ses états ».

De janvier à décembre, à travers 12 textes superbement illustrés, découvrez l’histoire des équations cachées dans les trajectoires des planètes et des étoiles ainsi que le développement des grandes théories qui ont accompagné cette ­aventure.

Semaine 47

Deux personnes marchent sur un escalator en fonctionnement. L’une des deux marche trois fois plus vite que l’autre. Lors de la montée, l’une des personnes compte $75$ marches alors que l’autre en compte $50$. Combien de marches de l’escalator faudrait-il monter s’il était à l’arrêt ?

Solution du 3e défi de novembre :

Enoncé

La réponse est : $66$.

Les neuf sommets de l’ennéagone déterminent ${9\choose 2}=36$ segments reliant deux des sommets. Chacun de ces segments détermine deux triangles équilatéraux, un de chaque côté.

PNG - 57.4 ko

La difficulté est que certains de ces $36 \times 2 = 72$ triangles sont confondus : plus précisément, si un triangle $BCD$ a ses trois sommets qui sont également sommets de l’ennéagone, on l’a compté trois fois dans le dénombrement précédent (à partir du segment $[BC]$, à partir du segment $[BD]$ et à partir du segment $[CD]$).

Il faut donc compter ces triangles exceptionnels, et retrancher deux fois leur nombre à $72$ pour obtenir le résultat correct.

Pour former un triangle équilatéral à partir des sommets d’un ennéagone régulier, la seule possibilité est de choisir un sommet sur trois. Il y a donc trois triangles équilatéraux dont tous les sommets sont également sommets de l’ennéagone : $A_1A_4A_7$, $A_2A_5A_8$ et $A_3A_6A_9$.

Ainsi, le nombre cherché est $72-2 \times 3=66$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2021 - Sous la direction d’Ana Rechtman,

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2021, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Novembre 2021, 4e défi

    le 24 décembre 2021 à 17:02, par ArnoMat

    Je propose de faire un raisonnement sur la vitesse de l’escalator par rapport à celle du marcheur B le plus lent.
    Quand le marcheur A, trois fois plus rapide, a compté 75 marches en haut de l’escalator en marche, B en a parcouru 25. Mais il en compte le double arrivé en haut. Donc, la vitesse de l’escalator en marche est égal à sa vitesse de marche. Donc, quand l’escalator est arrêté, B aurait deux fois plus de marches à gravir = 100.
    Est-ce que ce raisonnement est suffisant, à votre avis ?

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?