Un défi par semaine

Novembre 2022, 1er défi

Le 4 novembre 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 44

Considérons l’expression $n^3-n$, $n$ étant un entier positif.
Quel est le plus grand nombre entier positif qui divise toujours cette expression ?

Solution du 4e défi d’octobre 2022 :

Enoncé

Soit $r$ le rayon du petit cercle. L’aire bleue vaut
$\frac{\pi}{2}(10^2-r^2)$ et l’aire jaune vaut $\frac{\pi}{2}r^2$.

Nous avons donc :
\[ \begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2}(10^2-r^2) & = & \frac{\pi}{2}r^2\\ 100 & = & 2r^2. \end{eqnarray*} \]

Ainsi, $r=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$ cm.

La réponse est $5\sqrt{2}$ cm.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2022, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Novembre 2022, 1er défi

    le 4 novembre à 10:59, par Niak

    $n^3-n=(n-1)\cdot n\cdot (n+1)$ est le produit de trois entiers consécutifs, parmi lesquels on trouve toujours au moins un multiple de $2$ et exactement un multiple de $3$. C’est donc toujours divisible par $6$, qui est aussi $2^3-2$, donc le PGCD de tous ces nombres.

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  • Novembre 2022, 1er défi

    le 4 novembre à 11:15, par François

    $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ est le produit de trois entiers consécutifs donc divisible par $3!=6$. Pour $n=2$ ce produit vaut $6$ donc $6$ est le plus grand entier divisant $n^3-n$ pour tout $n$.
    Remarque plus générale :
    Pour tout entier positif $n$ et tout entier strictement positif $p$ on a $(n+1)(n+2) \dots (n+p)=p!\dbinom{n}{n+p}$. Donc $p!$ divise p entiers consécutifs, et en prenant $n=0$, on voit que $p!$ est le plus grand entier strictement positif divisant $(n+1)(n+2) \dots (n+p)$ pour tout $n$.

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  • Novembre 2022, 1er défi

    le 5 novembre à 14:48, par Mihaela J

    Comme @François l’a indiqué 2 est le plus petit diviseur de $n^3-n$. Alors le plus grand diviseur n’est d’autre que $(n^3-n)/2$.

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    • Novembre 2022, 1er défi

      le 5 novembre à 14:51, par Mihaela J

      Pardon, j’ai mal attribué la paternité :) : c’est bien @Niak qui nous a indiqué que 2 est le plus petit diviseur.

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  • Novembre 2022, 1er défi

    le 6 novembre à 03:18, par Kamakor

    On peut démontrer par récurrence que $6$ divise $n³-n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ :
    Puisque $0^3-0=0$ et $1^3-1=0$, alors $6$ divise $n^3-n$ pour $n=0$ et $n=1$
    Si $k^3-k$ est divisible par $6$ pour $k\in\mathbb{N}$ alors $(k+2)^3-(k+2)=k^3+6k^2+12kk-2=k^3-k+6(k^2+2k+1)$ est divisible par $6$ également.

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    • Novembre 2022, 1er défi

      le 6 novembre à 09:01, par Kamakor

      $(k+2)^3-(k+2)=k^3+6k^2+12k \hspace{.1cm} \text{+}\hspace{.1cm} 8-k-2=k^3-k+6(k+1)^2$

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