Un défi par semaine

Novembre 2022, 4e défi

Le 25 novembre 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Le calendrier 2022 s’intitule : « Les maths, une aventure humaine ».

Toute une année pour partir à la découverte  de femmes et d’hommes qui, à  travers leur travail, leurs échanges, leur  génie  mais aussi leurs contradictions, ont  construit les mathématiques.

Semaine 47

Si le produit de cinq nombres réels positifs est $a\times b\times c\times d\times e=1$, quelle est la valeur minimale de $a+b+c+d+e$ ?

Solution du 3e défi de novembre 2022 :

Enoncé

Réponse : Elles sont égales.

Supposons que le rayon du premier cercle mesure $1$ cm, nous avons alors un carré de côté de $2$ cm. La surface de la partie colorée dans la première figure est alors de $4-\pi$ cm$^2$.

En prenant toujours un rayon de $1$ cm pour le cercle de la première figure, les cercles de la deuxième figure ont alors pour rayon $\frac{1}{4}$ cm.

La surface colorée dans la seconde figure est de :
\[4-16\times \frac{\pi}{4^2}=4-\pi\,\mbox{cm}^2.\]

Nous concluons donc que les deux surfaces sont égales.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2022 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2022, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

  • Novembre 2022, 4e défi

    le 25 novembre à 12:36, par ROUX

    Je ne vois pas autre chose que $5$...
    Pour deux termes, ça fait $a*1/a$ et donc $a+1/a$. Cette somme est minimale pour $a=1$.
    Termes à termes, je vais tous les trouver égaux à $1$.
    Mais c’est juste parce que je ne sais pas traiter les cinq termes d’un coup...

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    • Novembre 2022, 4e défi

      le 25 novembre à 14:35, par zgreudz

      Je me suis fait la même remarque mais en considérant que si a,b,c,d,e sont indiscernables la valeur qui minimise est la même pour tous, donc si a=b=c=d=e on a a^5=1 donc a=1 donc a+b+c+d+e=5.

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  • Novembre 2022, 4e défi

    le 25 novembre à 16:22, par bistraque

    La moyenne géométrique est inférieure ou égale à la moyenne arithmétique. Les deux moyennes sont égales si tous les nombres sont égaux. Donc le minimum pour $\frac{a+b+c+d+e}{5}$ est $\sqrt[5]{a\times b\times c\times d\times e}=1$.

    Donc la réponse cherchée est $5$ et elle correspond au cas $a=b=c=d=e=1$.

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    • Novembre 2022, 4e défi

      le 26 novembre à 10:26, par ROUX

      Ah bah voilà le moyen de les traiter tous ensemble : les moyennes !
      $(a+b+c+d+...)/n$ à comparer à $\sqrt[n]{a.b.c.d. ...)}$.
      Ok !
      Merci !

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  • Novembre 2022, 4e défi

    le 27 novembre à 10:28, par Kamakor

    Pour tous $a$,$b\in\mathbb{R}$, $(a-b)^2 \geq 0$ donc $a^2+b^2\geq 2ab$

    Pour tous réels positifs $a$ et $b$ on a aussi :

    $a(a^2+b^2)\geq 2a^2b \hspace{1cm}$ d’où $\hspace{1cm} a^3+ab^2\geq 2a^2b$
    $b(a^2+b^2)\geq 2ab^2 \hspace{1cm}$ d’où $\hspace{1cm} a^2b+b^3 \geq 2ab^2$

    donc $a^3+b^3 \geq a^2b+ab^2$

    Par conséquent, pour tous réels positifs $a$, $b$ et $c$ :
    $2(a^3+b^3+c^3)=a^3+b^3+b^3+c^3+c^3+a^3\geq a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2$
    $2(a^3+b^3+c^3)\geq a(b^2+c^2) +b(a^2+c^2) + c(a^2+b^2) \geq a \times 2bc+ b\times 2ac+ c\times 2ab$
    Donc $\hspace{1cm} a^3+b^3+c^3\geq 3abc\hspace{1cm}$ et $\hspace{1cm} a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\geq 6abc$

    $(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2)+6abc\geq 27abc$
    Donc si $abc=1$ alors $(a+b+c)^3\geq27$ et puisque la fonction $x\rightarrow x^3$ est croissante sur $\mathbb{R}$, on a $a+b+c\geq3$

    Si $abc=1$, la valeur minimale de $a+b+c$ est donc $3$ (naturellement atteint pour $a=1$, $b=1$ et $c=1$).

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    • Novembre 2022, 4e défi

      le 28 novembre à 16:28, par Kamakor

      Pour tous $a$, $b \in\mathbb{R}$, $a^2+b^2\geq2ab$ donc $\left(a^2+b^2\right)^2\geq4a^2b^2$ d’où $a^4+2a^2b^2+b^4\geq4a^2b^2$ et $a^4+b^4\geq 2a^2b^2$.

      Pour tous $a$, $b$, $c$, $d \in\mathbb{R}$, on a alors :

      $6(a^4+b^4+c^4+d^4)=2(a^4+b^4+a^4+c^4+a^4+d^4+b^4+c^4+b^4+d^4+c^4+d^4)$
      $\hspace{2.6cm} \geq 4(a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2)$
      $\hspace{2.6cm} \geq a^2(b^2+c^2)+a^2(c^2+d^2)+a^2(b^2+d^2)+b^2(a^2+c^2)+b^2(c^2+d^2)+b^2(a^2+d^2)$
      $\hspace{3cm}+c^2(a^2+b^2)+c^2(a^2+d^2)+c^2(b^2+d^2)+d^2(a^2+b^2)+d^2(b^2+c^2)+d^2(a^2+c^2)$
      $\hspace{2.6cm} \geq 2(a^2bc+a^2cd+a^2bd+b^2ac+b^2cd+b^2ad+c^2ab+c^2ad+c^2bd+d^2ab+d^2bc+d^2ac)$
      $\hspace{2.6cm} \geq 2\left((a^2+b^2)\times cd + (a^2+c^2)\times bd + (a^2+d^2)\times bc+(b^2+c^2)\times ad + (b^2+d^2)\times ac + (c^2+d^2)\times ab\right)$
      $\hspace{2.6cm} \geq 2(2abcd+2abcd+2abcd+2abcd+2abcd+2abcd)$
      $\hspace{2.6cm} \geq 24abcd$

      On en déduit que :
      $\ast\hspace{.5cm} a^4+b^4+c^4+d^4\geq4abcd$
      $\ast\hspace{.5cm} a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2\geq6abcd$
      $\ast \hspace{.5cm}a^2bc+a^2cd+a^2bd+b^2ac+b^2cd+b^2ad+c^2ab+c^2ad+c^2bd+d^2ab+d^2bc+d^2ac\geq12abcd$

      Par ailleurs, pour tous réels positifs $a$, $b$, $c$ et $d$, $(a^3+b^3+c^3)\times d\geq 3abcd$
      soit $a^3d+b^3d+c^3d\geq3abcd$

      $(a+b+c+d)^4=a^4+b^4+c^4+d^4$
      $\hspace{3cm}+4(ab^3+ac^3+ad^3+ba^3+bc^3+bd^3+ca^3+cb^3+cd^3+da^3+db^3+dc^3)$
      $\hspace{3cm}+6(a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2)$
      $\hspace{3cm}+12(a^2bc+a^2cd+a^2bd+b^2ac+b^2ad+b^2cd+c^2ab+c^2ad+c^2bd+d^2ab+d^2bc+d^2ac)$
      $\hspace{3cm}+24abcd$
      $\geq 4abcd+4\times4\times3abcd+6\times6abcd+12\times12abcd+24abcd$
      $\geq 256abcd$

      Si $abcd=1$ alors $(a+b+c+d)^4\geq256$.
      Comme la fonction $x\rightarrow x^4$ est croissante sur $\mathbb{R}^{+}$, $a+b+c+d\geq4$
      La valeur minimale de $a+b+c+d$ est donc $4$ (obtenue pour $a=b=c=d=1$)

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