Enunciado

La respuesta es $4500$ combinaciones.

Distingamos dos casos : cuando uno de los dígitos pares repetidos está al final del número (leyendo el número de izquierda a derecha), y cuando los dos dígitos idénticos están entre las cuatro primeras posiciones.

En el primer caso, es decir, cuando el dígito par repetido está al final del número, el otro dígito idéntico debe estar en la primera, segunda o tercera posición, lo que quiere decir que hay $3$ posiciones y $5$ números pares posibles para este dígito. El ladrón debe escoger después una posición para el dígito impar, lo cual lo puede hacer de $3$ maneras, y hay $5$ números impares posibles. Una vez hecho esto, debemos ubicar dos números pares en los lugares restantes. Para el primer número par el ladrón tiene $4$ posibilidades, ya que hemos ubicado el par que se repite, y para el segundo número par, tenemos solamente $3$ posibilidades. Por lo tanto, en este caso, el ladrón tiene

$3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3=5^2 \cdot 3^3 \cdot 4=2700$ posibilidades

En el segundo caso, el número par repetido puede estar en los lugares : uno y tres, uno y cuatro o dos y cuatro, lo que hace $3$ posibilidades, con $5$ valores posibles para este número par. En la ubicación final debe haber un dígito par, por lo que el ladrón tiene $4$ posibilidades. Nos quedan dos posiciones libres. Una es para el dígito impar, lo que quiere decir que hay $2$ posibilidades para cualquiera de los $5$ dígitos impares ; y la otra es para el último dígito par, para el que hay $3$ valores posibles. En total, el ladrón tiene

$3\cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3=5^2 \cdot 3^2 \cdot 2^3=1800$ posibilidades

Por lo tanto, la respuesta final es $2700+1800=4500$.