Un desafío por semana

Noviembre 2018, tercer desafío

El 16 noviembre 2018  - Escrito por  Ana Rechtman
El 16 noviembre 2018
Artículo original : Novembre 2018, 3e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia)!

Semana 46:

Las dimensiones de los lados del rectángulo de la esquina tienen una razón igual a $2$. ¿Cuántos de estos rectángulos podemos ubicar en el cuadrado?

Solución del segundo desafío de noviembre:

Enunciado

La respuesta es $7$ pares.

Podemos reescribir la ecuación de la forma

\[\frac{ab+1}{b}=13\left(\frac{ab+1}{a}\right).\]

Como $a$ y $b$ son enteros positivos, tenemos $ab+1>0$, por lo que podemos dividir la ecuación por $ab+1$ y obtenemos

$\frac{1}{b}=\frac{13}{a} \quad$ de donde $ \quad a+b=14b$.

Luego, tenemos

$a+b=14b<100 \quad$ de donde $\quad b<8$.

 

Por lo tanto, las soluciones son $(13,1)$, $(26,2)$, $(39,3)$, $(52,4)$, $(65,5)$, $(78, 6)$ y $(91,7)$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Noviembre 2018, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

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