Un desafío por semana

Noviembre 2019, cuarto desafío

El 22 noviembre 2019  - Escrito por  Ana Rechtman
El 22 noviembre 2019
Artículo original : Novembre 2019, 4e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia)!

Semana 47

¿Cuántos dígitos tiene el número entero más pequeño terminado en $2$ tal que si trasladamos dicho $2$ al comienzo del número, lo que obtenemos es el doble del número original?

Solución del tercer desafío de noviembre:

Enunciado

La solución es $31$.

Podríamos intuir que $p$ puede tomar varios valores, y que habría luego sendas soluciones también. Pero la formulación del problema insinúa que no hay más que un solo valor primo de $p$ para el cual $p^2 + 8$ también es primo. El valor $p = 2$ da $p^2 + 8 = 12$, que no es primo, mientras que el valor $p = 3$ da $p^2 + 8 = 17$, que sí lo es. Vamos a ver que para cualquier otro valor de $p$, el número $p^2 + 8$ no es primo.

Si $p$ es un número primo diferente de $3$, entonces $p$ tiene la forma $3n + 1$ o $3n - 1$, para cierto entero $n$. Escribamos pues $p = 3n\pm 1$, y con esta escritura tenemos que
\[ p^2 + 8 = (3n\pm1)^2 + 8 = 9n^2\pm 6n + 9. \]
Este último número siempre es divisible por $3$ y estrictamente superior a $3$, y por lo tanto no puede ser primo.

Por consiguiente, a $p$ no le queda más que ser igual a $3$. Tenemos pues que $p^3 + 4 = 31$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2018, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2019 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Noviembre 2019, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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