Un desafío por semana

Noviembre 2020, primer desafío

El 6 noviembre 2020  - Escrito por  Ana Rechtman
El 6 noviembre 2020
Artículo original : Novembre 2020, 1er défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México)!

Semana 45

Sea $S$ un subconjunto de $\{\, 1, 2, 3,\dots, 30 \,\}$ tal que no hay dos elementos de $S$ cuya suma sea divisible por $5$. ¿Cuál es el máximo número posible de elementos de $S$?

Solución del quinto desafío:

Enunciado

Denotemos por $abc$ el número de tres dígitos buscado, siendo $a, b$ y $c$ sus dígitos. El número cuyos dígitos serían los mismos pero invertidos es entonces $cba$. La suma $x$ de ambos es pues
\[ \begin{align*} x &= 10^2a + 10b + c + 10^2c + 10b + a\\ &= (a+c) 10^2 + (2b) 10 + (a+c). \end{align*} \]

Puesto que todos los dígitos de $x$ deben ser impares y que $2b$ es forzosamente par, es necesario que $a + c$ valga al menos $10$. Pero $a + c$ no puede valer $10$, porque de lo contrario $x$ terminaría en $0$, que es par. Así pues, $a + c$ al menos vale $11$. Entonces $a$ vale $2$ al menos, y como queremos que $abc$ sea lo más pequeño posible, intentemos pues con $a = 2$.

En tal caso $c = 9$ (porque $a + c$ vale al menos $11$), y el número $abc$ valdrá el mínimo con $b = 0$. En este caso $abc = 209$, $cba = 902$ y $x = 209 + 902 = 1111$ no contiene más que dígitos impares.

Así pues, el número deseado es $209$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Noviembre 2020, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada -
  • GORUFUCERAMIST / SHUTTERSTOCK

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