Enunciado

El número máximo de elementos de $S$ es $13$.

Sea $S_1$ el subconjunto de enteros de $\{\, 1,\dots, 30\,\}$ cuyo resto es $1$ al ser divididos por $5$, esto es, $S_1 = \{\, 1, 6, 11, 16, 21, 26\,\}$.

De manera semejante, definamos $S_2, S_3$ y $S_4$ como los conjuntos de enteros entre $1$ y $30$ cuyo resto es respectivamente $2, 3$ y $4$ al ser divididos por $5$. Finalmente, definamos $S_5$ como el conjunto de múltiplos de $5$ entre $1$ y $30$.

Por la condición requerida, $S$ no contiene más de un elemento de $S_5$. Si $S$ contiene un elemento de $S_1$, entonces no puede contenir ningún elemento de $S_4$, y viceversa. Igualmente, si $S$ contiene un elemento de $S_2$, no puede contener ningún elemento de $S_3$, y recíprocamente.

Por consiguiente, el tamaño máximo de $S$ será de $6 + 6 + 1 = 13$ elementos. Un ejemplo de tal conjunto es $S = \{\, 1, 2, 5, 6, 7, 11, 12, 16, 17, 21, 22, 26, 27\,\}$.