Un desafío por semana

Noviembre 2021, cuarto desafío

Le 26 novembre 2021  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 26 novembre 2021
Article original : Novembre 2021, 4e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 47

Dos personas suben una escalera mecánica funcionando. Una de las dos camina tres veces más rápido que la otra. Durante la subida, una cuenta $75$ peldaños, mientras que la otra, $50$. ¿Cuántos peldaños habría que subir si la escalera mecánica estuviese detenida ?

Solución del tercer desafío de noviembre :

Enunciado

Los nueve vértices del eneágono determinan $\binom{9}{2} = 36$ segmentos uniendo dos vértices, y cada uno de estos segmentos determina dos triángulos equiláteros, uno de cada lado.

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La dificultad está en que ciertos de estos $36\times 2 = 72$ triángulos son indistinguibles, esto es, si los tres vértices un triángulo $BCD$ son igualmente vértices del eneágono, a $BCD$ ya lo hemos contado tres veces en el recuento previo (a partir del segmento $[BC]$, a partir del segmento $[BD]$ y a partir del segmento $[CD]$). Hay entonces que contar estos triángulos excepcionales, y suprimir dos veces su cantidad a $72$ para obtener el resultado correcto.

Para formar un triángulo equilátero a partir de los vértices de un eneágono regular, la única posibilidad es de escoger un vértice de cada tres. Hay entonces tres triángulos cuyos vértices todos son igualmente vértices del eneágono : $A_1A_4A_7$, $A_2A_5A_8$ y $A_3A_6A_9$.

Así pues, el número buscado es $72 - 2\times 3 = 66$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2021 — Bajo la dirección de Ana Rechtman.

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Pour citer cet article :

— «Noviembre 2021, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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