Enunciado

Para fijar las cosas, admitamos que al primer vértice, que llamaremos $R$, lo coloreamos de rojo. Con una rotación del cubo podemos situar a $R$ como en la siguiente figura, y ya no tendríamos ninguna otra libertad para el rojo :

Una vez el rojo fuera, escojamos los tres colores de los vértices adyacentes a $R$. Tenemos $\binom{7}{3}$ posibilidades para este trío de colores. Enseguida, y con una rotación de diferencia, no se los puede poner más que en una de las configuraciones siguientes (el dibujo muestra las tres aristas partiendo desde $R$ cuando observamos arriba de $R$) :

Tenemos entonces un total de $2\binom{7}{3}$ posibilidades para los tres vértices adyacentes a $R$. Finalmente, una vez que los cuatro vértices están fijos, el cubo ya no se puede mover y quedan cuatro vértices posibles para el quinto color, tres para el sexto, dos para el séptimo y uno para el último. Obtenemos pues un total de $2\binom{7}{3}\times 4! = 1680$ maneras.

Otra modo de resolver este enigma es contar el número de coloraciones posibles distinguiendo aquellas que difieren por una rotación (es decir, $8!$ posibilidades), luego dividirlo por el número de rotaciones del cubo. El conjunto de rotaciones del cubo es un objeto bien conocido en matemáticas : se trata del grupo llamado $\mathfrak{S}_4$ de permutaciones de cuatro elementos, y sabemos que posee $4! = 24$ elementos. Podemos encontrar este número de la manera siguiente : fijemos dos vértices $A$ y $B$ adyacentes sobre el cubo. Una rotación manda $A$ sobre $A'$, uno de los ocho vértices, y $B$ sobre $B'$, uno de los tres vértices adjuntos a $A'$. Recíprocamente, si tomamos dos vértices adyacentes $A'$ y $B'$, podemos construir una rotación que envíe $A$ sobre $A'$ y $B$ sobre $B'$. Acabamos entonces de construir $8\times 3 = 24$ rotaciones. Para asegurarnos de que no hay ninguna más, hay que ver que una vez que dos vértices adyacentes están fijos, el cubo ya no puede moverse, entonces una rotación está completamente determinada por $A'$ y $B'$. Así pues hay efectivamente $24$ rotaciones del cubo, y la respuesta es $\dfrac{8!}{24} = 1680$ maneras.