Acerca de la resolución geométrica de algunas ecuaciones algebraicas entre los siglos 8 y 13

Le 5 août 2011  - Ecrit par  Hamza Khelif
Le 12 août 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Sur la résolution géométrique de certaines équations algébriques entre le 8ème et le 13ème siècle Voir les commentaires
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Los matemáticos del período de la hegemonía árabe (siglos VIII al XIII) que han contribuido de un modo original a la teoría de las ecuaciones, también han explicado y justificado sus métodos geométricamente. A ciertos tipos de ecuaciones, ellos solo dieron soluciones geométricas.

Por ejemplo, para resolver la ecuación

\[x^2+10x=39\]

que traduce el enunciado :
« Un cuadrado y diez de su raíz son iguales a nueve y treinta », El Khawarizmi (783-850) da el método geométrico siguiente.

Designemos como $AB$ el valor de la incógnita $x$. Construyamos el cuadrado $ABCD$ (fig.1).

Prolonguemos $DA$ a $H$ y $DC$ a $F$ tales que $AH=CF=5$ que es la mitad del coeficiente de $x$.

Completemos el cuadrado sobre $DH$ y $DF$. Entonces las áreas de las regiones I, II y III son respectivamente $x^2$, $5x$ y $5x$. Su suma es el primer miembro de nuestra ecuación.

Se agrega ahora a los dos miembros el área IV que vale $25$. Por lo tanto, el área del cuadrado entero es $39+25=64$, y su lado es igual a $8$.

Por lo tanto, $AB$ o $AD$ es igual a $8-5=3$. Este es el valor deseado de $x$.

Los matemáticos de esta época también resolvieron ecuaciones cúbicas algebraicamente, y dieron una interpretación geométrica como aquella entregada para las ecuaciones cuadráticas. Es lo que hicieron por ejemplo Thabit Ibn Qurra (826-901) y El Hassen Ibn El Heythem (965-1039).

En cuanto al notable Omar El Kheyyam (1048-1131), él afirma que la ecuación general del tercer grado puede ser resuelta geométricamente utilizando las cónicas (él creía falsamente en la imposibilidad de resolverla algebraicamente, lo que se hará recién siglos más tarde).
Su celebridad como matemático se basa por lo tanto en el hecho de que él es el primero en haber estudiado de manera exhaustiva las ecuaciones cúbicas que tienen una raíz positiva. En ese contexto él dice : ’’... Yo, al revés, nunca he dejado de desear vivamente conocer con exactitud todas las especies, las posibles con las imposibles, basándome en las demostraciones’’ ((2). p. 25).
En lo que viene a continuación se ilustra el método que él utiliza en su tratado de álgebra (alrededor del año 1079) para resolver muchos tipos de ecuaciones cúbicas, tomando uno de los casos más simples que él trató, en este caso la ecuación

\[x^3+Bx=C,\]

donde $B$ y $C$ son positivos. ((3). p. 192-195)

El Kheyyam escribió la ecuación en la forma

\[x^3 + b^2x = b^2 c,\]

con $b^2=B$ y $b^2c=C.$

Él construye luego la parábola cuyo latus rectum [1] es $b$ [2]. (fig.2)

A continuación, él construye la semicircunferencia de diámetro $QR$ de longitud $c$. Entonces el punto $P$ común de la parábola y la semicircunferencia determina la perpendicular $PS$, y $QS$ es ’’la solución’’ de la ecuación propuesta.

Como se puede comprobar de la ecuación $x^2=by$ de la parábola, se tiene

\[\begin{equation}x^2=b.PS\label{equation_1}\end{equation}\]

\[\begin{equation}\frac{b}{x}=\frac{x}{PS}.\label{equation_2}\end{equation}\]

En el triángulo rectángulo $QPR$ la altura $PS$ es la mediana proporcional de $QS$ y $SR$. Por lo tanto

\[\begin{equation}\frac{x}{PS}=\frac{PS}{c-x}.\label{equation_3}\end{equation}\]

De $\ref{equation_2}$ y $\ref{equation_3}$ se deduce

\[\begin{equation}\frac{b}{x}=\frac{PS}{c-x}.\label{equation_4}\end{equation},\]

y de $\ref{equation_2}$ se obtiene \[PS=\frac{x^2}{b}.\]

Si se sustituye este valor de $PS$ en $\ref{equation_4}$ se obtiene sin esfuerzo que $x$ satisface la ecuación

\[x^3+b^2x=b^2c.\]

El Kheyyam resolvió también la ecuación

\[x^3+ax^2=c^3\]

cuyas raíces están determinadas por la intersección de una hipérbola y una parábola. Hace lo mismo para las ecuaciones

\[x^3+ax^2+b^2x=b^2c\]

y

\[x^3-ax^2+b^2x=b^2c,\]

cuyas raíces se determinan por la intersección de una elipse y una hipérbola (cf. (2) p.27-29).

El Kheyyam resolvió también la ecuación de 4º grado

\[(100-x^2)(10-x)^2=8100,\]

cuyas soluciones (positivas) están dadas por la intersección de una hipérbola y una circunferencia.

La resolución de las ecuaciones cúbicas utilizando la intersección de cónicas era uno de los grandes pasos de los matemáticos de este período en álgebra.

Referencias

1) Jean-Paul Colette histoire des mathématiques tome 1, Éditions du Renouveau Pédagogique Inc., Canada, 1973.

2) Julian Lowell Coolidge The Mathematics of Great Amateurs, Clarendon Press . Oxford, 1990.

3) Morris Kline Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Volume 1, Oxford University Press, 1990.

4) Reviel Netz The Transformation of Mathematics in the Early Mediterranean World. From Problems to Equations, Cambridge University Press, 2004.

5) También se puede dar una mirada aquí.

Notes

[1Del latín $latus$ (’’lado’’) y $rectum$ (’’recto’’). Es la cuerda focal que es perpendicular al eje de la parábola.

[2Este valor fija en efecto la parábola que, sin embargo, no es posible de construir con la ayuda de la regla y el compás. Ella tiene parámetro $p=\frac{b}{2}$, foco $F(0, \frac{b}{4})$ y directriz $D: y=-\frac{b}{4}$.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Acerca de la resolución geométrica de algunas ecuaciones algebraicas entre los siglos 8 y 13» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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