De naturalización a naturopatía, hay en mi diccionario doce palabras de la familia de naturaleza. Tienen significados bastante variados : naturista ,por ejemplo, tiene poco que ver con naturalista, sobre todo cuando éste es, de hecho, un taxidermista o simplemente un rellenador de animales.

Estas palabras son ocasión de diversas citas, desde el proverbial

Atrape lo natural, porque regresa al galope

(inspirado por Horacio), y de su versión en boga

¡Atrape a los naturalizados ! (nacionalizados)

(de las Vacaciones del pequeño Nicolás) hasta

Se puede conocer bien la existencia de una cosa sin conocer su naturaleza

(de Pascal).

Pese a que estoy preocupada por la actualidad de la palabra ’’naturalización’’ y el peligro de los nauseabundos olores de un pasado que uno podría haber esperado ya cumplido [1], aquí deseo hablarles de matemáticas. Si la famosa revista científica Nature no publica matemáticas, si mi diccionario no menciona ninguna acepción matemática para ninguna de las doce palabras en cuestión, al menos nos queda a nosotros, los matemáticos, la palabra ’’natural’’ [2] en (muchos, de hecho) sentidos matemáticos precisos.

Primero están los números ’’naturales’’. Los números de ’’todo el mundo’’ : 1, 2, 3, 4, y la continuación. ¿En qué son naturales ? no sé mucho, pero nosotros les llamamos así. Sirven para contar objetos, ovejas, piedras, personas, lo que uno quiera, y no voy a enseñarles a los lectores de Images des mathématiques que el número ’’natural’’, digamos 3, es ya una noción matemática bastante evolucionada y demasiado abstracta. Que tres piedras y tres gacelas sean, de cierta forma, lo mismo...

Y estoy segura que los lectores atentos se preguntan por qué comencé por 1. Bueno, se sabe que 0 no es tan natural ya que, como se ha dicho, hubo que inventarlo. Pero forma parte del conjunto de los números ’’naturales’’. Estos números bastan para ’’enumerar’’ los objetos, pero son muy insuficientes para hacer cálculos, lo que hizo que a lo largo de la historia se tuviera que inventar varios otros números : enteros, relativos, racionales, reales, complejos, etc. [3].

Existen otros objetos ’’naturales’’ en matemáticas. La propiedad de ser natural, la naturalidad, es una noción bastante abstracta que voy a tratar de evocar. Usted tiene dos objetos $A$ y $B$ y un ’’asunto’’ que hace pasar de uno al otro. Por ejemplo, $A$ es el conjunto de todos los números naturales, $B$ es el conjunto de aquéllos que son pares, y el asunto que hace pasar de $A$ a $B$ es la multiplicación por 2 (que transforma un número natural en un natural par). Ahora usted tiene también una máquina $H$, que es capaz de transformar todos los objetos tales como $A$ y $B$, en objetos más complicados, digamos $H(A)$, $H(B)$. Y bueno, si $H$ le construye a usted al mismo tiempo un $H$(truco), usted dice que $H$ es ’’natural’’. La cosa calificada como natural aquí es una transformación (natural) de funtores, y antes de hablar de funtores, habría que hablar de categorías, lo que no podré hacer en una nota.

Yo prefiero las notas cortas. Voy a detenerme entonces aquí. De hecho, los funtores y sus transformaciones (naturales) fueron especialmente desarrolladas en Francia en los años 1950-60 por Alexandre Grothendieck, que recibió la medalla Fields en 1966, está entre los franceses titulares de esta distinción, y es ’’apátrida’’ [4].

El mensaje es... ¿hace falta un mensaje ?

PS. El título de esta nota proviene del latín, y es de una obra de Lucrecio, Sobre la Naturaleza...