El efecto mariposa

un disparo en Marruecos...

Piste verte Le 3 juillet 2019  - Ecrit par  Étienne Ghys
Le 7 septembre 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : L’effet papillon Voir les commentaires
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Un disparo resuena en Marruecos... Un incidente sin importancia, pero que va a cambiar la vida de una pareja de estadounidenses, de una niñera mexicana y de una adolescente japonesa. Todo un juego de pequeños efectos y grandes consecuencias. Una reflexión acerca del destino humano... ¿sujeto al azar o a la necesidad ? Mucha emoción en Babel, esa película de Alejandro González Iñárritu estrenada en 2006. No faltaron los críticos de cine que vieron ahí una ilustración del famoso efecto mariposa, que es probablemente el fenómeno matemático más conocido por el público masivo.

¿Qué significa el efecto mariposa ?

Google cita 220 000 páginas acerca del ’’Efecto Mariposa’’, 409 000 páginas sobre el ’’Effet Papillon’’ y 1 900 000 páginas sobre ’’Butterfly Effect’’. Se encuentra de todo y a veces cualquier cosa : interpretaciones contradictorias, afirmaciones fantasiosas, etc. Según un internauta que participaba en un foro de amantes del cine, el efecto mariposa sería... ¡un proverbio japonés !

Un poco de historia

La meteorología estudia un fenómeno de una complejidad inextricable : el movimiento de la atmósfera. La ecuación que rige ese movimiento es conocida desde hace mucho tiempo : es la ecuación de Navier-Stokes. Pero saber escribir una ecuación ¡no significa que uno sepa resolverla ! Hay que pensar un poco en la cantidad de información necesaria para describir la atmósfera : hay que conocer la temperatura, la velocidad del viento, la presión atmosférica, la higrometría, etc, no solamente en un lugar dado sino ¡en todos los lugares del globo terrestre ! Tener un conocimiento exacto de estos datos es simplemente imposible : se necesita una infinidad de datos, la mayoría inaccesibles.

Edward Lorenz era un teórico de la meteorología, de formación matemática, fallecido en 2008. En 1962, tuvo la idea de caricaturizar la ecuación de Navier-Stokes, de simplificarla el extremo, de hacer ’’como si’’ la atmósfera dependiera sólo de tres parámetros, ¡pese a que se necesitaría una infinidad ! Simplificar un problema complicado esperando que mantendrá la esencia del fenómeno estudiado : esa es una buena actividad matemática. Y en su ’’atmósfera atrofiada’’, reducida a sus tres coordenadas, E. Lorenz pudo poner en marcha su computador y calcular las soluciones numéricas que se supone que describen el movimiento. Imagine el computador de Lorenz, con su poca capacidad en 1962... Fue entonces cuando comprobó ’’experimentalmente’’ que la mínima modificación en su ’’atmósfera de juguete’’, por ejemplo añadir 0.0000001 a una de las tres coordenadas, implica un cambio considerable en el movimiento atmosférico después de un tiempo relativamente modesto. Es el fenómeno de la ’’dependencia sensible a las condiciones iniciales’’, el paradigma de la teoría del caos.

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Observe la imagen. Representa la trayectoria de la ecuación de Lorenz simplificada, en el espacio tridimensional. Esas curvas giran como locas, tanto hacia la izquierda como a la derecha, y parece imposible prever si una vuelta a la derecha será seguida por otra vuelta a la derecha o a la izquierda. Y sin embargo, para una condición inicial dada, para una atmósfera dada, hay un futuro bien definido : el determinismo no está en tela de juicio. Por el contrario, dos puntos cercanos en el espacio tridimensional -tan cercanos que tal vez no se les distingue sobre la figura- definen sus trayectorias que comenzarán estando cercanas pero que pueden terminar por separarse de manera importante : ¡una parte a la izquierda y la otra a la derecha ! De ese modo, si uno conoce un punto con una cierta incerteza, por pequeña que sea, la predicción del porvenir se vuelve ilusoria.

En 1973, Lorenz dio una conferencia cuyo magnífico título resume de maravillas esta idea. Esta es la traducción :

« El aleteo de una mariposa en Brasil, ¿podría provocar un huracán en Texas ? ».

¡El efecto mariposa había nacido !

¿Por qué hubo que esperar hasta Lorenz para que este concepto pasara a ser público ?

Lorenz no era el primero en comprender esta limitación en el determinismo. Henri Poincaré y Jacques Hadamard, a principios del siglo XX lo habían entendido bien, en un contexto apenas distinto : el movimiento de los cuerpos celestes puede ser sensible a las condiciones iniciales... Por cierto, Lorenz lo sabe, y su artículo cita ampliamente sus fuentes.

¿Puede ser que Hadamard y Poincaré no hayan sabido ’’encontrar las palabras’’ y que se conformaran con escribir artículos de matemáticas incomprensibles ? Esta interpretación no resiste. Ambos hicieron esfuerzos de difusión. Por ejemplo, en La Ciencia y la Hipótesis, una obra de divulgación con un tiraje de centenares de miles de ejemplares, Poincaré escribió :

’’Un décimo de grado de más o de menos en un punto cualquiera, y el ciclón se abate aquí y no allá, y extiende sus estragos sobre tierras que habría evitado.’’

¡No está la mariposa, pero sí el ciclón ! Probablemente Hadamard y Poincaré estaban demasiado adelantados a su época, y la sociedad no estaba lista para ese cambio profundo en el concepto de determinismo. La física de inicios del siglo XX representa el triunfo de la ciencia del determinismo, herencia de Newton y Laplace. Todo se calcula, todo se predice, y para aquello que no se sabe predecir, hay confianza en que solo es cuestión de tiempo y que la física o las matemáticas sabrán responder. No se contaba con las revoluciones cuánticas y relativistas que hicieron temblar las ideas preconcebidas... En 1973, la opinión pública está más abierta a esas nuevas ideas, y sin lanzarse en discusiones histórico-sociológico-filosóficas, la idea de que la mínima mariposa -y por qué no, mi modesta persona- pudiera tener una influencia en el desarrollo global del mundo que me rodea, es bastante mejor percibida en 1973 que en 1900.

¿Eficacia de una mariposa en Texas ?

Pero no nos olvidemos que Lorenz sacó sus conclusiones del examen de una simplificacion casi absurda de la ’’verdadera ecuación’’ que rige el movimiento de la atmósfera. El efecto mariposa ¿se hace sentir en la meteorología ? Lorenz no se involucra con ese punto. Su objetivo es explicar que un fenómeno natural, como por ejemplo la meteorología, podría ser sensible a las condiciones iniciales y que esto podría tener consecuencias sobre la imposibilidad de predicción del tiempo a mediano plazo. Concedámosle el mérito de haber popularizado esta idea tan simple : si el futuro está determinado por el pasado, quizás no lo es de una manera tan ingenua como se pensaba antes. Incluso si la mariposa de Brasil resultara incapaz, hay otros campos de la ciencia donde esta idea puede aplicarse. Hemos hablado de planetas, pero algunos no dudan en hablar de historia, de política, de finanzas, etc.

Gracias a Poincaré, Hadamard y Lorenz, nuestra concepción del determinismo ha cambiado. Sabemos que el presente determina el futuro, pero también sabemos que un conocimiento imperfecto del presente -como casi siempre es el caso- vuelve ilusoria la determinación del futuro. Hizo falta un siglo para que esta idea simple pero fundamental fuera asimilada -desgraciadamente a menudo de manera imperfecta- por el público, y también entre los científicos.

El mensaje de Lorenz

Aquí están, en términos ligeramente simplificados, dos citas de Lorenz. La primera ha sido resumida :

’’Si el batir de alas de una mariposa puede generar un huracán, lo mismo es cierto para todos los otros aleteos de los millones de otras mariposas, sin hablar de la influencia de las actividades de numerosas otras criaturas más potentes, ¡como los hombres, por ejemplo !’’.

La segunda cita -por el contrario- pasó inadvertida :

’’Sostengo la idea de que -con el paso de los años- las pequeñas perturbaciones no modifican la frecuencia de aparición de eventos como los huracanes : lo único que pueden hacer es modificar el orden en el cual esos eventos se producen.’’

Claramente, aunque el meteorólogo no pueda prever el tiempo que hará en Lyon en un mes más, debería ser posible prever promedios, frecuencias de eventos meteorológicos, con una buena precisión, en un lugar dado, sobre un período largo de tiempo. Por supuesto, ese tipo de predicción es más modesto, pero a menudo también es muy útil. Esta segunda idea de Lorenz reencuadra el rol del pronosticador.

Hoy en día

Por supuesto, estas ideas van bastante más allá del caso particular de la meteorología. Una teoría científica no puede fundarse sobre un principio negativo, como la imposibilidad de prever el porvenir. Es necesario que proponga un método para sortear esta dificultad. Hoy en día, la teoría matemática que discute esos temas se llama la teoría de los sistemas dinámicos y cuando ella aborda el punto de vista de la segunda cita de Lorenz, toma el nombre de teoría ergódica. Se trata entonces de comprender no las trayectorias particulares, sino las frecuencias y promedios. ¡Una teoría matemática apasionante y floreciente, muy en especial desde los años 1970 !

La batalla por saber si la mariposa de Brasil influye en Texas causa estragos entre los especialistas de la meteorología y de las ecuaciones de Navier-Stokes. Todo el asunto es saber si las aproximaciones hechas por Lorenz están justificadas en el caso de la atmósfera. Para responder a esto es necesario que los matemáticos comprendan mejor los sistemas dinámicos que dependen de un gran número de dimensiones (e incluso de una infinidad de dimensiones). Un artículo reciente se titula ’’¡El efecto mariposa ya no existe !’’, pero otros autores critican las hipótesis que ahí se hacen, ya que -por supuesto- hay que consultar también a los físicos y a los meteorólogos : ninguna teoría matemática puede aplicarse a una situación concreta si no se puede verificar que las hipótesis sean satisfechas en la práctica. Entonces, el efecto mariposa ¿existe ’’de verdad’’ ? Dejemos a los matemáticos trabajar con sus colegas físicos. Por ejemplo, el hecho de que la ecuación de Lorenz, caricaturizada solo con tres dimensiones, satisfaga en efecto la segunda cita de Lorenz, es un resultado puramente matemático muy reciente : los matemáticos dicen que la ecuación de Lorenz posee una ’’medida física’’. Y ese resultado matemático difícil no está a priori ligado con el asunto de saber si la ecuación de Lorenz da cuenta del movimiento de la atmósfera.

Incluso si el efecto mariposa no existiera en la atmósfera, quedaría como una idea matemática rica y potente. La teoría de los sistemas dinámicos no se limita a la descripción de la atmósfera. Como a menudo en matemáticas, un ejemplo se transforma en el germen de una teoría cuya ambición es comprender un campo mucho más amplio que lo que inicialmente se pensaba, y establecer conexiones con otros campos que parecían muy alejados. El concepto de caos, nacido hace un siglo por razones de mecánica celeste, se enriqueció con el ejemplo de la turbulencia en la atmósfera, y ha invadido una buena parte de las matemáticas, incluso la teoría de números, que parece tan ’’estática’’ e inmutable... Vea por ejemplo una ilustración en este artículo.

Mecánica celeste, meteorología y teoría de números están, por lo tanto, unidas desde hace poco por métodos comunes. Poincaré nos había advertido : ’’Hacer matemáticas es dar el mismo nombre a cosas diferentes’’. Hoy en día, caos significa muchas cosas, bastante más de lo que Poincaré o Lorenz hubieran podido imaginar.

Article original édité par Jacques Istas

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El efecto mariposa» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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