El número Pi bajo la lupa

Piste bleue Le 20 décembre 2018  - Ecrit par  Bruno Martin
Le 14 mars 2022  - Traduit par  Edgard Araya, Andrés Navas, Pilar Garcés
Article original : Le nombre Pi à la loupe Voir les commentaires
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Permite calcular el perímetro y el área de un disco ; lo conocemos desde la escuela primaria ; rimas, libros enteros están dedicados a él. El número $\pi$ es una verdadera estrella en matemáticas. Durante más de dos mil años, muchos científicos han investigado para comprender mejor las propiedades de este número, con éxito porque $\pi$ es mucho menos misterioso hoy en día que en la Antigüedad. Y, sin embargo, la secuencia de sus decimales sigue siendo bastante enigmática...

En 2010, François Gramain escribió en este sitio un artículo muy completo sobre los decimales del número $\pi$. Describe en particular el progreso sucesivo, desde la Antigüedad hasta nuestros días, lo que ha permitido que hoy conozcamos sus primeros veinte mil billones de decimales.

La secuencia de decimales de $\pi$ es, como veremos, objeto de una conjetura que parece particularmente difícil. Tomemos como punto de partida esta cita de François Gramain :

’’La mayoría de los matemáticos piensan que estos decimales se distribuyen “al azar“ : por supuesto, no es una probabilidad real lo que esperamos, ya que tenemos una definición muy precisa [de $\pi$], sino una buena distribución doblemente inesperada, que parece casualidad... ’’

Vamos a tomarnos el tiempo para aclarar y probar esta afirmación a través de dos artículos. También buscaremos saber qué sucede con otros números que no sean $\pi$...

Si los decimales de $\pi$ se distribuyen ’’al azar’’, entonces instintivamente nos decimos a nosotros mismos que debemos encontrar entre ellos la misma cantidad de $0$ que de $1$, $2$,... y de $9$. Esto plantea un pequeño problema porque, a diferencia de números como $1/5 = 0,2$ o $13/4 = 3,25$, $\pi$ no es lo que llamamos un racional : posee un número infinito de cifras decimales (estamos seguros de cómo demostrarlo, ¡y además no es fácil !).

En consecuencia, para dar una traducción matemática precisa a la afirmación de que encontramos, por ejemplo, tantos $0$ como $1$ entre los decimales de $\pi$, debemos tomar algunas precauciones. El proceso consiste en calcular las frecuencias de apariciones de $0$, de $1$,..., y de $9$, entre los primeros decimales, para luego ver qué pasa a medida que tomamos en cuenta más decimales.

¡Adelante ! Comencemos con las primeras $100$ cifras decimales de $\pi$ :
\[ \begin{array}{rl} \pi & = 3, \,14159265358979323846\\ & \qquad \, 26433832795028841971\\ & \qquad \, 69399375105820974944\\ & \qquad \, 59230781640628620899\\ & \qquad \, 86280348253421170679\ldots \end{array} \]
Podemos contar cuántas veces aparecen $0$, $1$,..., $9$ e informar los resultados en una tabla :

Los primeros $100$ decimales
Cifras

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Número de apariciones 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14

Si las primeras $100$ cifras decimales estuvieran perfectamente distribuidas, habríamos observado $10$ apariciones del dígito $0$, $10$ apariciones del dígito $1$, etc. Este no es el caso, ¡pero probablemente era demasiado pedir ! Sin embargo, tenga en cuenta que los resultados no están lejos de $10$.

Continuamos teniendo en cuenta las primeras $200$ cifras decimales de $\pi$ : encontramos
\[ \begin{array}{rl} \pi & = 3, \,14159265358979323846\\ & \qquad \, 26433832795028841971\\ & \qquad \, 69399375105820974944\\ & \qquad \, 59230781640628620899\\ & \qquad \, 86280348253421170679\\ & \qquad \, 82148086513282306647\\ & \qquad \, 09384460955058223172\\ & \qquad \, 53594081284811174502\\ & \qquad \,84102701938521105559\\ & \qquad \,64462294895493038196\ldots \end{array} \]
Nuevamente, contemos el número de apariciones de $0$, $1$... :

Los primeros $200$ decimales
Cifras

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Número de apariciones 19 20 24 19 22 20 16 12 25 23

Veremos más claramente calculando los porcentajes de apariciones en lugar del número de apariciones :

Porcentajes de apariciones
Cifras

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Primeros $100$ decimales (en $\%$) 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14
Primeros $200$ decimales (en $\%$) 9,5 10 12 9,5 11 10 8 6 12,5 11,5

Los valores de los porcentajes obtenidos rondan al $10\,\%$. Podemos ver que de un caso al otro, las diferencias entre estos diferentes porcentajes se han reducido (un poco).
Ahora tomemos en cuenta los $100$, los $1000$, los $10000$, los primeros $10^5$ y $10^6$ decimales. Ya no me molesto en escribir los decimales de $\pi$ (¡pues ocuparía mucho espacio !). Los porcentajes se redondean a dos decimales.

Porcentaje de apariciones
Cifras

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Primeros $10^2$ decimales 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14
Primeros $10^3$ decimales 9,3 11,6 10,3 10,2 9,3 9,7 9,4 9,5 10,1 10,6
Primeros $10^4$ decimales 9,68 10,26 10,21 9,74 10,12 10,46 10,21 9,7 9,48 10,14
Primeros $10^5$ decimales 10,00 10,14 9,91 10,03 9,97 10,03 10,03 10,03 9,98 9,90
Primeros $10^6$ decimales 10,00 9,98 10,00 10,02 10,02 10,04 9,96 9,98 10,00 10,01

Podemos ver que todos los porcentajes de apariciones se acercan a $10\,\%$ a medida que se toman en cuenta más decimales. No hay exactamente tantos $0$, como $1$, ... , $9$ entre los primeros lugares decimales de $\pi$, pero las diferencias entre los porcentajes parecen inexorablemente cada vez más pequeñas.

Es aún más revelador si visualizamos las curvas de evolución de estos porcentajes. Comencemos viendo, por ejemplo, los correspondientes a los números $0$ y $9$.

PNG - 52.1 ko

Mientras permanezcamos confinados a los primeros mil lugares decimales, las dos curvas están bastante distantes entre sí, aunque inexorablemente parecen ser atraídas por el valor de $10\,\%$. Decimos que los porcentajes de apariciones de $0$ y $9$ convergen (o al menos parecen converger) hacia el valor de $10\,\%$.

Tenga en cuenta que utilicé una escala particular para el eje horizontal, las graduaciones no son regulares. Esto permite demostrar mejor este fenómeno de convergencia.

Ahora que nuestro ojo está entrenado, podemos visualizar simultáneamente las diez curvas correspondientes a los porcentajes de apariciones de las cifras $0$, $1$, $2$, ..., $9$ que pueden aparecer entre los decimales. ¡Es una especie de huella digital de $\pi$ !

PNG - 135.4 ko

¡Todas las curvas se acercan al valor de $10\,\%$ a medida que se toman en cuenta más decimales ! Bueno, aquí les presento la

Conjetura del trimestre : todos los porcentajes de aparición de las cifras $0$, $1$, $2$,..., $9$ en los decimales del número $\pi$ convergen al $10\,\%$.

Aunque nuestras observaciones parecen poner en evidencia este fenómeno de convergencia, hoy no sabemos cómo demostrar que efectivamente se produce. ¡Y es molesto ! Podríamos continuar con nuestros cálculos teniendo en cuenta cada vez más decimales y ver que este fenómeno continúa. Pero tarde o temprano nos encontraremos con el hecho de que no conocemos los decimales de $\pi$ más allá de cierto rango. Solo la prueba matemática podría garantizar que, más allá de eso, la convergencia persistirá.

Ahora hagámonos la siguiente pregunta : ¿este fenómeno de convergencia, si se demuestra, sería suficiente para afirmar que los decimales de $\pi$ parecen estar distribuidos al azar ? ¡No realmente !
Consideremos el número
\[ \begin{array}{rl} 0, &\!01234567901234567890123456789\\ & \!01234567901234567890123456789\\ &\! 01234567901234567890123456789\ldots \end{array} \]
que se obtiene repitiendo el patrón $0123456789$ indefinidamente. Ciertamente, sospechamos que los porcentajes de apariciones de cada dígito tenderán a $10\,\%$. Pero ahora, la secuencia de los decimales de este número ¡apenas se parece a la idea que se tiene del azar ! Por lo tanto, debemos ir más allá en nuestra exploración de los decimales de $\pi$ : ¡será dentro de unos meses, en la segunda parte de este artículo !

Post-scriptum :

El autor agradece calurosamente a los revisores de este artículo cuyos nombres o seudónimos son Shalom Eliahou, Mario, Simon Billouet y Gilles Damamme.

Article original édité par Shalom Eliahou

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Pour citer cet article :

Andrés Navas, Edgard Araya, Pilar Garcés — «El número Pi bajo la lupa» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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