El tornillo ... sin fin

Le 5 mars 2012  - Ecrit par  Pierre Gallais
Le 5 août 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : La vis ... sans fin Voir les commentaires
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En sueños, Arquímedes [1] me habría invitado a contemplar el tornillo sin fin... informándome paralelamente, que mi vida no será sin fin ¡y que eso no era imputable a ningún vicio de forma !

Primero los resultados del pequeño ejercicio propuesto en la nota anterior.

En el rango $n = 5$ : 140 latas. En el rango $n = 6$ : 224. En el rango $n = 7$ : 336. Para pasar del rango $n$ al rango $n+1$, se añade $2(n+1)(n+2)$ latas. En el rango $n$ hay $2/3 n (n+1) (n+2)$ latas. En el rango $n+1$, hay $2/3 (n+1) (n+2) (n+3)$ latas...

Ahora

Desde el momento en que ya no es más plana, una superficie tiene de qué asombrarse. Bien puede que nosotros tengamos un conocimiento teórico bastante claro, que pudiéramos enunciar todas sus propiedades y quedemos maravillados cuando la miramos. Aunque « maravillado » puede parecer un término un tanto abusivo en estas circunstancias ; pero en lo que a mí concierne, no lo es.

El primer recuerdo que va en ese sentido se remonta a la escuela primaria. En clases había un atlas que representaba la Tierra. Esa fue la primera imagen que tuve al respecto. Luego se me presentó la oportunidad -en un tiempo suficientemente alejado, en relación a la edad que podía tener enconces- de estar enfrentado a un globo terrestre. La Tierra era redonda, ya lo sabía, pero frente a ese globo toda la imagen que yo creía tener tambaleaba. No supe expresarlo así...pero no había ningún punto de vista privilegiado. Por ejemplo, el polo norte, Groenlandia, que sobre el atlas era blanco y bastante extendido, podía aparecer pequeño e incluso desaparecer.

Esto parece muy ingenuo. Sin embargo, forma parte de las impresiones primarias que están inscritas para siempre en mi ¿cerebro ?. La esfera es redonda y eso puede explicarlo. Pero me tocó enrollar una hoja de papel para hacer un cucurucho. No me asombraba conseguir enrrollar de una cierta manera la hoja para obtener un cono más que un cilindro, pero como la hoja era rectangular, siempre había un punto (no el de la cúspide, pero creo que usted ha comprendido ya que ciertamente ha hecho uno). Ingenuamente, con unas tijeras yo cortaba esta punta, pero aparecían otras puntas. ¿Cómo había que cortar entonces para hacer desaparecer esas puntas ? Yo igual ya había cruzado algunos conos perfectos...

Yo no reflexionaba, en el caso del cono, acerca del asombro que aparece al obtener una superficie (no plana) partiendo de una superficie plana. Mucho antes de haber abordado en clases el estudio de las superficies desarrollables [2] yo me había maravillado con las virutas que uno obtiene perforando un pedazo de metal o bien con la herramienta del torno. Había cierto placer en obtener la viruta más larga posible con esta forma ’’helicoidal’’ y en conservarla como trofeo. Algunas podían llegar hasta casi un metro.

Si uno reflexionara en la viruta en términos de superficie desarrollable, habría materia para hablar y volver a hablar [3]. Conjuntamente, sobre ese torno que hacía las virutas, existe este tornillo sin fin (un tornillo helicoidal cuadrado) para arrastrar el carro porta-herramienta. Cuando uno observa y concentra su mirada sobre un tornillo sin fin en rotación, además de las fascinación que hipnotiza al ver las curvas en movimiento perpetuo [4], hay una cierta dificultad en captar la imbricación de curvas que la componen. Cuando -partiendo de una redondela de papel- uno se aventura a comprender y a elaborar esta superficie, hay un asombro al ver que esta redondela plana toma ’’aspectos torcidos’’. En mi caso personal, el conocimiento teórico que pueda tener acerca de las superficies desarrollables, en este experimento elemental, no aporta nada de reafirmante. Podría decir incluso que agrega asombro. Puede que ya no sea más maravillamiento, pero reserva una sorpresa que invita a la reflexión.

Haga el experimento : trace sobre una hoja de papel rígido dos círculos concéntricos. Marque algunas líneas rectas tangentes al círculo interior. Recorte la redondela y trate de formar la superficie helicoidal. Lo que sigue no se describe, pero se siente al manipularlo. Si usted está atento, observará sin duda que una parte de cada una de las tangentes que ha trazado permanece recta (bueno, esperemos, ya que la superficie es tan viva como una anguila que se debate entre sus dedos) y que la otra se curva. Todo esto se explica fácilmente. El círculo interior es la línea de regreso para la superficie que usted defina y esas rectas son sus tangentes ; la recta tangente se mantiene como línea recta, pero más allá del punto de tangencia ella pasa por debajo [5]. Fuera de lo que usted ve es lo de abajo. Más allá del punto de tangencia, su línea recta cambia de naturaleza... Estoy tentado de decirlo : en un sentido, sí ; en otro, no, ya que la línea ¡sigue definiendo el camino más corto entre dos puntos !

Los más apasionados podrán trazar las líneas de curvatura de esta superficie. Primero están las rectas, y luego sus curvas ortogonales. Para eso basta con trazar en plano sobre su redondela las desarrollantes del círculo interior, ya no espirales, sino en forma de caracol [6].

Para el menú de esta noche, ¿caracoles y anguila ?

Vamos, todo esto es muy ingenuo, pero vuelve las matemáticas tan vivas como esa anguila inatrapable que se retuerce... y que me deja sus ricas relaciones...(¿de poesía ?)

Notes

[1físico, matemático griego (287-212 AC), inventor del tornillo que lleva su nombre y que habría enunciado en su tina el famoso teorema : « todo cuerpo sumergido en un líquido recibe un empuje vertical al peso del volumen desplazado » y saldrá de ahí ... (el cuerpo)...¡mojado ! Pero eso no se agregó... aunque todos nosotros lo comprobamos.

[2Para saber más acerca de las superficies desarrollables, usted puede transportarse de manera óptima aquí y proseguir acá, por ejemplo.

[3Es más bien una superficie reglada, ya que cuando uno trata de aplanar un pedazo, se rompe. Esto no debería ocurrir si fuera una superficie desarrollable

[4En el campo sonoro yo sueño con su descendiente perpetuo que el compositor Jean Claude Risset produjo por síntesis numérica en los años 1970. Vea aquí también.

[5Como en el objeto presentado aquí, la superficie se compone de dos partes. Sobre ésta yo hice el empalme en el borde exterior de mis dos redondelas. Habría sido necesario empalmar a lo largo del círculo interior para tener la verdadera superficie helicoidal. Y entonces, usted habría comprobado que la tangente se mantiene recta más allá del empalme, pasando de una parte a la otra, de una cara de la primera parte, a la cara opuesta de la segunda parte.

[6Para captar concretamente lo que representa esta desarrollante de círculo, usted puede imaginar haber enrollado alrededor de un cilindro una pequeña cinta metálica elástica (de acero por ejemplo) y fijado un lápiz a un extremo. Conservando uno de los dos extremos pegado al cilindro, libere lentamente el otro extremo desplazando el dedo sobre el cilindro, de manera que el resto se mantenga pegado al cilindro. Como la cinta es elástica, tomará de nuevo su forma original (un segmento de recta). El lápiz dibujará la desarrollante de círculo. Ustd podrá observar que la curva es perpendicular al segmento. ¡El círculo es la desarrollada de la desarrollante !

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El tornillo ... sin fin» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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