Escalas y TGV

Piste verte Le 27 janvier 2013  - Ecrit par  François Sauvageot
Le 2 février 2022  - Traduit par  Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier
Article original : Echelles et TGV Voir les commentaires
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Ayer, al regresar de una apasionante reunión del comité de redacción de Images des Maths, tomé el TGV [1] con un paquete de exámenes por corregir...

El TGV es bastante ideal para corregir exámenes, siempre que uno llegue a concentrarse. En todo caso, no es menos asocial que telefonear sin moverse de su sitio o tener los ojos pegados a una pantalla.

Casi llegando a Nantes, y también terminando mi montón de exámenes, mi vecino de la izquierda tuvo la gentileza de comunicarme un problema de geometría. ’’Usted parece saber de matemáticas... tengo un amigo que me planteó un problema que no consigo resolver. ¿Podría usted ayudarme ?’’

Yo estaba muy contento (lo que pareció sorprenderle). Sí, claro : por una parte eso me permitía salir un poco de la monotonía que finalmente se impone durante la corrección de exámenes y, por otra parte, en general frente a exámenes de matemáticas (y de la persona que las corrige), las reacciones son a menudo distantes, e incluso molestas o irritadas...

De lejos, el problema se parecía a algunas joyitas de geometría ’’a la antigua’’, como uno puede encontrar en pequeños libros o antiguos manuales [2]. Al cabo de algunos minutos de geometría plana, luego de trigonometría, lo conseguí : es decir, llevé el problema a ecuación.

Estuve entonces un poco frustrado al comprobar que no se trataba de un problema de geometría que uno pudiera resolver con un argumento estético. No. Había que resolver una ecuación del cuarto grado y, por lo tanto, finalmente dar una respuesta no más satisfactoria que la que entrega un metro para marcar deslindes, una maqueta o un dibujo suficientemente preciso...

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Este es el enunciado

Entre dos muros (verticales) paralelos, se coloca dos escalas cruzadas. La primera mide 3 metros de largo, la segunda 2 metros. Se comprueba que se cruzan a una altura de 1 metro. ¿Cuál es la distancia entre los dos muros ?

Una solución entre otras [3]

Con un poco de trigonometría, se obtiene una puesta en ecuación de esta distancia $d$ bajo la forma : $d=2\sin(\alpha)=3\sin(\beta)$ y $\frac1{2\cos(\alpha)}+\frac1{3\cos(\beta)}=1$.

Queda resolver $\frac1{\sqrt{4-d^2}}+\frac1{\sqrt{9-d^2}}=1$, lo que uno puede hacer por aproximaciones sucesivas, reduciéndose a una ecuación de cuarto grado y utilizando un método de resolución por radicales (fórmulas de Ferrari) o aproximada, o incluso usando un computador. Es un tanto frustrante, pero ¡fue una agradable manera de terminar ese viaje en tren !

Notes

[1NdeT : Tren de Alta Velocidad francés

[2Aconsejo por ejemplo el de Coxeter y Greitzer, ’’Redécouvrons la géométrie’’.

[3Hay varias otras maneras de obtener una puesta en ecuaciones, pero todas desembocan en una ecuación del cuarto grado.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Escalas y TGV» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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