Generación tangencial

Le 8 août 2011  - Ecrit par  Pierre Gallais
Le 14 septembre 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Génération tangentielle Voir les commentaires
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¡Un cierto trabajo mat-nual para mi-temática aplicada !

En cierta época, tuvimos entusiasmo por ese trabajo manual decorativo que consiste en extender hilos entre clavos hundidos en una placa, y que como resultado hace aparecer un diseño abstracto o figurativo. Ese recuerdo, sin duda, no deja de influir en el montaje que hice [1]. Yo no había practicado esos trabajos manuales, pero me acuerdo haber tenido cierta emoción, en clases, cuando explicamos la generación tangencial de las cónicas (la foto de arriba es el ejemplo para la elipse) [2] y la dualidad punto-recta. En dualidad, lo que es recta se convierte en punto y lo que es punto se convierte en recta. Así, ’’dos rectas concurrentes’’ por dualidad se transforman en ’’dos puntos pertenecientes a la misma recta’’. Una cantidad de problemas se encuentran simplificados cuando pronunciamos la frase un tanto mágica : ’’por dualidad…’’

Yo podría también evocar el placer que hay al producir una curva aproximándola por el polígono tangente exterior. Si bien no siempre es fácil producir curvas en el espacio (o en el plano), es más simple obtener segmentos de línea recta.

Igualmente habría que mencionar la fascinación que representa la tangente en una curva. Es, además, una costumbre de la cual no se privan los matemáticos cuando hacen cálculo infinitesimal o diferencial. Y la historia de los orígenes de ese cálculo es emocionante, si se acepta ese término en matemática. Plásticamente, o bien sensiblemente : considerar que más allá de un cierto umbral, uno pueda admitir que el error cometido al confundir la curva y ese pequeño segmento de recta tangente es despreciable. Esto no tiene nada de extravagante. Pero conducir cálculos apoyándose en semejante razonamiento es asombroso Es como abrir una ventana al misterio de lo continuo y de lo infinito... ; lo infinitamente pequeño. Lo más sorprendente para el matemático en ciernes que duda un poco ocurre cuando comprueba que este enfoque ’’tangencial o diferencial’’ provee los buenos resultados. Por ejemplo, cuando compara los resultados obtenidos para el área de un círculo mediante dos métodos diferentes. ’’Por supuesto, eso debe ser verdadero ya que nos lo enseñan’’... Pero incluso así, ¿no es maravilloso ?

Si uno no tiene la capacidad de maravillarse con esto, puede que vea en el montaje que acabo de hacer tan solo el resultado de una aplicación numérica más o menos hábil, o bien una realización plástica, formal. Esta savia matemática, que se convierte en poética, que alimenta o acompaña mi recorrido, es solo un perfume adicional, se podría decir. Pero es este perfume el que me guía en mis investigaciones.

El ejercicio matemático que consiste en realizar esta envoltura tangencial de una elipse podría ser fácilmente confiado a un alumno de últimos años de secundaria. Sería una ilustración práctica del cálculo trigonométrico en el marco de la geometría analítica, completada con un poco de geometría en el espacio. In situ, al pie de un muro, son medidas, referencias... un poco de método. De método, ciertamente, ya que esos valores que uno saca de la calculadora son muy abstractos. Nada se parece más a un número que otro número, y en la acumulación hay muchas ocasiones de confundirse. Solo paso a paso aparecerá la forma... y los errores se harán flagrantes.

En esta sala decidí el plano inclinado que recibiría la elipse, y en el suelo, la circunferencia que me serviría como apoyo. Luego, calculé las tangentes a esa circunferencia y las intersecciones con las paredes. Después, gracias a esos niveles láser que trazan las verticales, marqué cada punto hasta la huella del plano inclinado sobre las paredes. Finalmente dibujé las líneas. La sala medía 6 x 6,4 x 3 metros. Para la circunferencia en el suelo, elegí un radio de 1,5 metros. Su centro estaba desplazado en relación al centro de la pieza, con el fin de separar las simetrías. Treinta y seis líneas, sesenta y dos puntos de anclaje, doscientos a trescientos metros de hilos fluorescentes, la oscuridad y una iluminación ultravioleta.

No voy a hablar del resultado plástico o artístico. No me corresponde hacer comentarios al respecto. Las imágenes no podrían dar cuenta del efecto producido in situ... no son más que huellas, lamentablemente [3].

Tres artistas de la danza contemporánea [4] se apropiaron de la instalación para ejecutar un acto. Estaban encantadas ahí, y pensamos prolongar ese trabajo. También se apropiaron de la segunda instalación... pero eso será tema para una segunda nota.

Notes

[1Exposición Mathérialisation en el centro CIRCA en Montréal, Canadá

[2Vea por ejemplo aquí, pp.56-57.

[3Un video sería más expresivo... pero está en proceso de edición.

[4Elise Bergeron, Rosie Contant, Audrey Rochette

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Generación tangencial» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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