Geometrizar

Piste bleue Le 8 novembre 2014  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu
Le 10 novembre 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Géométriser Voir les commentaires
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Ilustro con un ejemplo elemental el hecho de que ’’geometrizar’’ un problema consiste en llevarlo a una pregunta que trata sobre un ’’espacio’’.

Este artículo es un complemento de otro mío ’’Algebrizar’’. En este último, explico con un ejemplo elemental una manera general de abordar los problemas matemáticos : su ’’algebrización’’. Aquí, deseo ilustrar con otro ejemplo elemental una segunda manera general de abordar esos problemas : su ’’geometrización’’.

Numerosos libros de juegos matemáticos contienen problemas de travesía de río : un cierto número de personas debe atravesar con ayuda de un bote a remos, respetando algunas restricciones. Este tipo de problemas tiene una venerable antigüedad, ya que los más antiguos ejemplos contenidos datan del tiempo de Carlomagno. En efecto, los tres problemas siguientes se encuentran en ’’Propositiones ad acuendos juvenes’’ [1], escrito por Alcuin :

Proposición 17. De tres hombres y sus hermanas

Tres hombres, cada uno con una hermana, deben atravesar un río, evitando siempre que un hombre esté en presencia de otra mujer que no sea su hermana [2]. Ellos tienen solo un bote que puede transportar solo a dos personas.

¿Quién puede decir cómo pueden atravesar el río de modo que una mujer nunca sea dejada en compañía de otro hombre si su hermano no está presente ?

Proposición 18. De un hombre, una cabra y un lobo

Un hombre debía atravesar un río con un lobo, una cabra y una cesta con repollos. Ahí había un bote, pero tan pequeño que sólo podía pasar con el hombre el lobo, la cabra o la cesta con repollos. Él no quería dejar la cabra con el lobo o con los repollos.

Dígame, quien pueda, cómo el hombre se las arreglará para transportar sin problemas al lobo, a la cabra y a los repollos.

Proposición 19. De un marido y su esposa

Un hombre y su esposa pesaban cada uno tanto como un carrito cargado. Sus dos hijos pesaban juntos tanto como el carrito vacío. Los cuatro debían atravesar un río. Encontraron un bote que podía llevar a lo más el peso de un carrito.

¿Cómo pudieron cruzar el río sin naufragar ?

De estos tres problemas el más conocido es probablemente el segundo, y el más complicado, el primero. Pero con un poco de paciencia se logra resolverlos sin ningún bagaje matemático, mediante ensayos sucesivos, con el fin de abrirse camino a través de las diversas pistas que surgen en cada etapa.

En la frase anterior, abrirse camino parece una expresión metafórica utilizada para designar el proceso de ensayos y errores que llevan a una solución. Me gustaría presentar aquí otro método, que pasa por la traducción del problema en esto de abrirse camino yendo de un punto a otro en un cierto espacio.

Yo leí este método en el muy agradable libro ’’Aventuras matemáticas’’ [3] de Miguel de Guzmán.

Guzmán primero lo ilustra en el segundo problema de la lista anterior, luego en una variante más simple del primero, en el cual sólo hay dos parejas de hermanos y hermanas. Ese es el caso que yo retomo aquí.

El grafo de los posibles

El punto de partida del método es construir un espacio subyacente al problema, que yo llamaré el grafo de los posibles.

En general, un grafo es un diagrama formado por vértices y aristas que los unen. En nuestro caso, cada vértice corresponde a una configuración posible de los personajes, es decir una configuración que respeta las restricciones del problema. Dos vértices están unidos por una arista si se puede pasar de una configuración a la otra con una sola travesía que respete las restricciones dadas.

Por ejemplo, la configuración inicial es aquella donde las cuatro personas así como el bote (¡que es un personaje del problema !) se encuentran sobre la orilla de partida. Otra configuración posible es aquella donde las damas se encuentran sobre la otra orilla con el bote, y los caballeros sobre la orilla de partida. Se puede pasar de la configuración de partida a esta última en una sola travesía, por lo tanto hay una arista que une los vértices asociados.

Notemos como $D_1, D_2$ a las dos damas y con $M_1, M_2$ a los caballeros (siendo por supuesto $M_i$ el hermano de $D_i$). Notemos también como $B$ al bote. Guzmán representa cada configuración con un círculo dividido en dos con ayuda de un diámetro, cuyas dos mitades representan las dos orillas y en cada mitad están contenidos los nombres de los personajes que se encuentran en esa orilla. Así, las dos configuraciones del párrafo anterior están representadas por :

Con un poco de trabajo, uno puede dibujar entonces el grafo de nuestro problema. Para esto, es cómodo disponer los discos de manera circular, luego trazar todos los segmentos que partan de una configuración dada hacia aquellas que le están asociadas en una travesía. Se hace esto para cada configuración. La disposición inicial de los discos es arbitraria, pero es bueno encontrar una manera sistemática de hacerlo, para estar seguros que uno no se ha olvidado de ninguna configuración.

Éste es el diagrama obtenido por Guzmán :

¿Comprende usted de qué manera él dispuso los discos y cómo esto asegura que ninguna configuración esté olvidada ? Tal vez usted las dispuso de otra manera, pero eso no es grave, ya que si usted trazó correctamente las aristas, el grafo obtenido es el mismo, lo que los matemáticos formulan diciendo que es isomorfo. Con mayor exactitud, el grafo de los posibles debe ser pensado como un objeto abstracto, que vive en sí mismo, no en un espacio ambiente cualquiera más familiar. El dibujo en el plano no es más que una sombra. Sobre esta sombra uno ve los cruces entre aristas que no están presentes en el grafo de los posibles abstractos, y los cuales no debemos tener en cuenta en la resolución de nuestro problema.

Ahora es fácil encontrar visualmente un camino que conduzca de la configuración donde todos los personajes están en una orilla a aquella donde todos se encuentran en la otra orilla. Por ejemplo :

Regreso al sentido de la ’’geometrización’’

La solución anterior procede de la ’’geometrización’’ del problema. Pero ¿qué significa esto en general ? En el Trésor de la langue française, uno encuentra las siguientes definiciones :

Definición : Geometrizar : convertir en geométrico.

¡Ah !, hay que buscar también ’’geométrico’’ :

Definición : Geométrico : A. Que compete a la geometría. B. Que está caracterizado por formas que dependen de la geometría.

Bueno, es necesario aún buscar el sentido de ’’geometría’’ :

Definición : Geometría : Parte de las matemáticas que tiene como objeto el estudio del espacio y de las figuras que pueden ocuparlo.

Estoy de acuerdo. Pero, ¿qué es el ’’espacio’’ ? Bueno, es una noción que ha evolucionado increíblemente durante los dos últimos siglos. Si alrededor de 1800 uno podía decir a menudo que se trataba del espacio de la geometría de Euclides, en nuestros días hay una plétora de objetos que los matemáticos han sido llevados a llamar con ese nombre.

¿Qué es lo que hace que se decida en un momento dado que un objeto de nuestra mente bien pueda ser llamado ’’espacio’’ ?

Una posible respuesta es :

Principio : Se puede decir que un objeto es un ’’espacio’’ si uno reconoce analogías suficientemente importantes entre este objeto y el espacio euclidiano.

Por ejemplo, se uno detecta ahí figuras especiales, análogas de los puntos, de las rectas, de los planos o de las esferas en el espacio euclidiano. O bien si uno puede desplazarse por ahí progresivamente.

Estos dos criterios están verificados por los grafos : tienen ’’puntos’’ (sus vértices) y « rectas » (sus aristas). Uno puede desplazarse ahí progresivamente, circulando a lo largo de las aristas. Es suficiente como para decretar que ¡un grafo es un ’’espacio’’ !

De una cierta manera, los grafos son los espacios más simples que hay : incluso si están constituidos por segmentos, que son de dimensión uno, se puede pensar que sólo tienen un conjunto finito de puntos, ya que las aristas materializan justo las transiciones permitidas de un punto a otro [4]. Sin embargo, tal como para el plano euclidiano y como para todo espacio, contemplarlos hace aparecer las preguntas unas tras otras.

Aquí están algunas a las cuales se puede responder jugando con el grafo anterior :

  • ¿Cuál es el número mínimo de travesías necesarias para que todo el mundo pase de una orilla a la otra ? En otros términos, ¿cuál es la distancia entre los dos vértices correspondientes ?
  • ¿De cuántas maneras se puede hacer una tal travesía mínima ?
  • ¿Cuál es el diámetro del grafo, es decir la mayor distancia entre dos vértices ?
  • ¿Se puede encontrar una representación en el plano de ese grafo en la cual no aparezcan cruces suplementarios ?
  • (Para lectores más avezados) ¿Cuál es el grupo de simetría del grafo ?

La noción de distancia introducida en la primera pregunta pone en evidencia otra analogía de los grafos con el espacio de la geometría euclidiana : en ambos casos se puede definir la longitud de los caminos que van de un punto al otro. En lo que se refiere a los grafos, es posible hacerlo atribuyendo a cada arista una longitud, y luego adicionando las longitudes de las aristas recorridas por el camino.

En el anterior grafo de los posibles se atribuye a cada arista la longitud $1$.
Esta convención significa suponer que cada vez el río es atravesado en intervalos de tiempo de igual duración. Pero también se puede variar el problema tomando en cuenta el hecho de que esas duraciones dependen de la persona que rema. En este último caso, es necesario considerar otro grafo, en el cual a veces hay dos aristas entre dos vértices, cada una correspondiente a otro remero. Además, a cada arista está asociada una longitud que representa la duración de la travesía hecha con el remero asociado. Por ejemplo, si esta persona no sabe remar, se atribuye a la arista correspondiente una longitud infinita... lo que significa eliminar lisa y llanamente la arista del grafo.

Pero volvamos al caso más simple, donde no se toma en cuenta esas sutilezas ligadas a la diversidad de los remeros. Si uno dibuja los grafos correspondientes a los tres problemas de travesía de río planteadas por Alcuin, se comprende visualmente por qué uno podía tener la sensación de que el primer problema es el más difícil : se trata del grafo que tiene el mayor número de aristas.

Por lo tanto, las dificultades de los problemas pueden ser comparadas gracias a su geometrización, evaluando diversos caracteres de los espacios asociados.

Regreso a los problemas de Alcuin

Los tres problemas de travesía de ríos planteados por Alcuin pueden hacerse más complicados a voluntad, aumentando el número de personajes presentes o las reglas de compatibilidad entre ellos, e introduciendo eventualmente algunas islas en las cuales algunos personajes pueden ser dejados temporalmente. Se puede encontrar ejemplos semejantes en el capítulo ’’Le jeu des traversées en bateau’’ del primer volumen de ’’Récréations mathématiques’’ de Lucas [5]. Cada uno de esos problemas puede geometrizarse de la misma manera que en el ejemplo de Guzmán, traduciéndolo en la búsqueda de un camino que una dos vértices dados en un grafo. Pero los grafos asociados se vuelven rápidamente muy complicados, y por lo tanto es imposible arreglárselas dibujando.

Se hace necesario programar un computador para buscar tal camino por nosotros. Esto requiere algebrizar a su vez el problema geométrico, con el fin de hacerlo calculable por una máquina [6].

De este modo llego a un aspecto esencial de mi objetivo : los procesos de algebrización y de geometrización no bastan en general por sí solos para resolver un problema. Hay que combinarlos juiciosamente, haciendo muchas algebrizaciones y geometrizaciones sucesivas del problema de inicio, o bien de sus subproblemas. Esto es válido incluso si uno se ocupa de problemas etiquetados de manera diferente, por ejemplo de ’’teoría de los números”, de “probabilidades” o de ’“ecuaciones en derivadas parciales”. Geometrizarlos significa percibir ahí espacios subyacentes ; algebrizarlos significa percibir ahí los aspectos calculables.

Lo que es curioso es que la mayoría de los matemáticos prefieren claramente uno de los dos métodos : ya sea porque tienen un gusto definido por las estructuras algebraicas y los algoritmos pero ’’no ven’’ geométricamente, o porque solo se sienten felices cuando saben pensar en un problema y su solución con ayuda de un cierto tipo de espacio. Adivine en qué lado se situaba Hermann Weyl, quien escribió :

’’En este tiempo el ángel de la topología [7] y el diablo del álgebra abstracta luchan por el alma de cada disciplina matemática.’’ [8]

¡Afortunadamente los gustos son variados ! Sólo así es como -después de haber experimentado múltiples algebrizaciones y geometrizaciones finas que permiten cada una descomponer un problema en subproblemas o de ligarlos a otros problemas que parecían totalmente diferentes al inicio- los problemas más profundos finalmente se encuentran resueltos mediante los esfuerzos combinados de generaciones de matemáticos más bien inclinados a la algebrización o bien a la geometrización. Esos esfuerzos dejan tras ellos vastas perspectivas de nuevos espacios, de nuevas estructuras algebraicas o de nuevos algoritmos, que engendran nuevas preguntas, que exigirán ser geometrizadas, luego algebrizadas, luego ...

Pero ¿es posible que estos dos métodos generales de transformación de los problemas no basten, y que a veces sea necesario aritmetizarlos o probabilizarlos ? Seguramente, y quizás un voluntario nos explicará en torno a un café en qué consiste esto ...

Post-scriptum :

¡Muchas gracias a Simon Billouet, Maxime Bourrigan, Damien Gayet, Lison Jacoboni, Marcus Mildner, François Sauvageot, Massy Soedirman, Claire Wenandy y a Flandre por sus comentarios y sugerencias !

Article original édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1Lo que puede traducirse como ’’Proposiciones para aguzar la perspicacia de los jóvenes’’. Yo retomé esta traducción, así como la de los tres problemas presentados aquí, de Charles-E. Jean, tal como la publicó en el sitio
Récréomath.

[2La continuación del enigma muestra que la restricción ’’evitando siempre que un hombre esté en presencia de otra mujer que no sea su hermana’’ se refiere solamente a las personas que se encuentren en el bote. En efecto, en una orilla un hombre puede estar en presencia de una mujer que no sea su hermana, siempre que el hermano de esta se encuentre también presente. Pero como en el bote pueden entrar solo dos personas, la restricción principal del problema ’’que una mujer no sea dejada en compañía de otro hombre si su hermano no está presente)’’ tiene en realidad como consecuencia esta primera restricción enunciada en el enigma.

[3Se trata de una obra de juegos matemáticos de nivel de secundaria, publicado por las ediciones Pirámide de Madrid. Una traducción francesa, bajo el título ’’Aventures mathématiques’’, fue publicado en 1990 en las Presses Polytechniques et Universitaires romandes de Lausanne. El método del cual hablo aquí está explicado en el capítulo 1.

[4Respecto a este tema se podrá ver también las cadenas de Markov.

[5Yo ya hablé aquí de un problema extraído de esta obra.

[6Un semejante método de algebrización está explicado en el artículo Alcuin’s transportation problems and integer programming
de Borndörfer, Grötschel et Löbel, publicado en el volumen 2 de ’’Charlemagne and his heritage. 1200 years of civilization and science in Europe’’ (Aachen, 1995), Brepols, Turnhout, 1998, 379–409.

[7La topología es la rama de la geometría que estudia los ’’espacios topológicos’’. Sobre este tema se puede consultar muchos artículos en IdM : aquí, acá, ahí o incluso aquí.

[8« In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra fight for the soul of every individual discipline of mathematics. » . Esta frase se encuentra en la página 500 del artículo ’’Invariants’’, publicado en Duke Mathematical Journal No. 5 (1939), 489—502.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Geometrizar» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - El logo es una foto de la pintura « Las colinas de Belbeuf » (1909) de Robert Antoine Pinchon, proveniente de Wikimedia

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