Hacia el infinito

El 14 agosto 2012  - Escrito por  Patrick Popescu-Pampu
El 14 agosto 2012  - Traducido por  Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier
Artículo original : Vers l’infini Ver los comentarios
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El tema aquí son las primeras intuiciones del infinito.

Hacer matemáticas es hacer malabarismos con los infinitos.

En este año de celebración del centenario de la desaparición de Henri Poincaré, me gustaría primero ilustrar mi afirmación mediante un extracto [1] de su obra de 1902, ’’La Ciencia y la Hipótesis’’
 [2].

Yo preguntaba al inicio por qué no se podría concebir una mente tan potente como para percibir con una sola mirada el conjunto de verdades matemáticas.

La respuesta es fácil ahora: un jugador de ajedrez puede combinar cuatro jugadas o cinco jugadas con anticipación, pero -por extraordinario que se le suponga- nunca va a preparar más que un número finito. Si aplica sus facultades en aritmética, no podrá divisar las verdades generales con una sola intuición directa. Para llegar al más pequeño teorema, no podrá dejar de contar con la ayuda del razonamiento por recurrencia, porque es un instrumento que permite pasar de lo finito al infinito.

Este instrumento es siempre útil ya que al hacernos saltar de un brinco tantas etapas como queramos, nos libera de demostraciones largas, fastidiosas y monótonas que resultarían rápidamente impracticables. Pero es indispensable cuando uno apunta al teorema general, cuya verificación analítica nos acercaría sin parar, sin permitirnos alcanzarla.

En ese campo de la aritmética, uno puede considerarse muy lejos del análisis infinitesimal, y sin embargo -acabamos de verlo- la idea del infinito matemático ya juega un rol preponderante, y sin ella no habría ciencia porque no habría nada general.

Con el fin de llegar a jugar con ’’la idea del infinito matemático’’ y experimentar la flexibilidad de pensamiento que ella permite, hay que partir de una nueva base intuitiva de esta idea. Pero ¿cómo se construye semejante base? Yo nunca había reflexionado en esta pregunta antes que algunos comentarios de mi hijo de cinco años llamaran mi atención sobre esto. Aquí están:

  • Desde que tuvo tres años, la lectura antes de dormir provocaba infaltablemente el mismo comentario en él, cuando uno paraba de leer: ’’Otra vez te olvidaste la última página, ¡LA ÚL-TI-MA PÁGINA !’’ Nunca era la que uno acababa de leer, ¡siempre era la siguiente!
  • Un día, al regresar de la escuela, preguntó: ’’¿Verdad que el cielo no se detiene nunca, que no tiene pared, que uno siempre puede seguir?’’ ¿Qué contestarle? Que era probable. Estaba encantado, es lo que él le había asegurado a uno de sus compañeros de un curso superior. Yo no me imaginaba que semejantes problemas pudieran ser discutidos a esta edad.
  • Por estos días, su hermanita de un año está frente a un paso mayor en su desarrollo: está dudando si da sus primeros pasos por su cuenta. Por ahora a veces se atreve a quedarse algunos segundos de pie, pero aún no se lanza sin afirmarse de alguna cosa. Entonces su hermano la anima: ’’Da un primer paso, después podrás dar un segundo... luego un tercero... y luego tantos como quieras ...’’

A cada página le sigue otra, ya que las historias son infinitas [3]. En efecto, uno siempre puede dar un paso más hacia nuevas aventuras en un espacio infinito, añadiendo así nuevas páginas para placer de aquellos que adoran escuchar historias. Probablemente es esto lo que mi hijo experimenta con confusión, y no puedo más que admirar esta visión optimista, garantizada por una multiplicidad de ideas intuitivas de lo infinito.

Cada uno pasa de este modo por sus primeras experiencias de lo infinito. Seguramente existen investigaciones detalladas sobre el tema. Yo agradezco de antemano a aquellos que quieran darme referencias, así como otros ejemplos del mismo tipo en los niños.

Notas

[1Proviene de la sección V del Capítulo I.

[2El lector no científico puede aprender lo que es el razonamiento por recurrencia leyendo el capítulo completo, o bien escuchándolo bajo la lectura de Etienne Ghys. Pero conprender esto no es esencial para la continuación de esta nota.

[3¡Por suerte para Sheherazade!

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Para citar este artículo:

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Hacia el infinito» — Images des Mathématiques, CNRS, 2012

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - La foto del logo fue tomada por Victoria Johnson. Proviene de:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AInfinity_Bridge.jpg
Representa un puente sobre el río Tees, cerca de Stockton-on-Tees, al noreste de Inglaterra.

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