Hay cuatro, por lo tanto ¡es un plano !

Le 8 juin 2012  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu
Le 28 septembre 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Il y en a quatre, c’est donc un plan ! Voir les commentaires
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Se verá que todo conjunto de cuatro elementos tiene naturalmente una estructura geométrica de plano sobre el cuerpo con dos elementos.

Ya sea que se trate de cuatro botas, cuatro espadas, cuatro mosqueteros o cualquier cuarto ejemplo de conjunto con cuatro elementos, este está naturalmente provisto de una estructura de plano afín sobre el cuerpo con dos elementos. Es lo que deseo explicar aquí, ilustrando algunas nociones matemáticas fundamentales : la ’’naturalidad’’, los ’’planos afines’’ y el ’’cuerpo con dos elementos’’.

La ’’naturalidad’’ (se dice también ’’canonicidad’’) hace referencia al hecho de que no se necesita ninguna elección adicional para esto, que es una consecuencia del hecho de que hay exactamente cuatro elementos. En cuanto a las otras expresiones entre comillas, las dos sub-secciones siguientes están dedicadas a ellas. El lector iniciado está invitado a saltárselas alegremente.

Cómo un observador transforma el plano euclidiano en objeto algebraico

Hablemos primero del ’’plano’’ de la geometría elemental. Sus propiedades necesarias para la elaboración de ’’planos’’ de arquitectura han sido axiomatizados por Euclides, lo que permite demostrar por encadenamientos lógicos de axiomas una multitud de propiedades descubiertas o no anteriormente de manera experimental. Esas propiedades se refieren a figuras en el plano. Entre esas figuras, las más simples eran los puntos y las rectas, y uno de los axiomas más famosos, el del paralelismo, puede enunciarse únicamente con ayuda de éstas.

Se puede hablar entonces de paralelógramos. En el siglo XIX se comprendió que su consideración permite pensar el plano no como un receptáculo de figuras geométricas sino como una estructura algebraica : un grupo abeliano, e incluso más, un espacio vectorial. Pero para esto hay que hacer una elección : añadir un observador. Y esto en el sentido más débil posible : se supone que este observador ¡está reducido a un punto !

En resumen, hay que determinar un punto $O$ en el plano. Entonces, si $A$ y $B$ son otros dos puntos, se define su suma $C = A + B$ requiriendo que $OACB$ (tomado en este orden) formen un paralelógramo. Como hay un único punto $C$ verificando esta limitación, y que $OBCA$ es entonces automáticamente aún un paralelógramo, se ve que se define así una operación commutativa $(A,B) \to A+ B = B +A$.

Si $A'$ es el simétrico de $A$ en relación a $O$, entonces $OAOA'$ es un paralelógramo, lo que muestra que $O = A + A'$. Se dice que $A'$ es el opuesto de $A$. Un conjunto provisto de una ley de composición conmutativa, asociativa (tal que $A + (B+ C) = (A+ B) + C$, ¡verifique que ese es el caso aquí !) y tal que todo elemento admite un opuesto, se llama un ’’grupo abeliano’’. Por lo tanto, se acaba de ver que, en cuanto uno eligió un observador puntual, un plano euclidiano es naturalmente un grupo abeliano [1].

Para indicar la necesidad de la elección del punto $O$ antes que el plano se convierta en un grupo, se dice por razones históricas que antes de esa elección se tenía un ’’plano afín’’. Un plano afín es por lo tanto un grupo cuyo origen se ha olvidado : todo punto puede entonces jugar ese rol.

De hecho, cuando $O$ está establecido, se puede definir no solamente la adición de los puntos del plano, sino también su multiplicación por números reales (por ejemplo, el punto $B = 2 \cdot A$ es definido por la condición que $O, A, B$ estén alineados en este orden, y que el segmento $OB$ sea el doble del segmento $OA$). Esta multiplicación verifica algunas condiciones de compatibilidad con la adición, que naturalmente hacen del plano provisto del punto $O$ un ’’espacio vectorial’’ sobre el cuerpo $\mathbb{R}$ de los números reales.

El cuerpo con dos elementos

Acabo de utilizar la expresión ’’cuerpo de números reales’’. Pero ¿qué es un ’’cuerpo’’ ? Simplemente todo conjunto en el cual se puede calcular con ayuda de dos operaciones $+$ y $\cdot$, que verifican las mismas reglas de cálculo que para los números reales.

El ejemplo no trivial más pequeño [2] es el del ’’cuerpo con dos elementos’’. Estos simplemente se escriben $0$ y $1$, y con esos símbolos se efectúa las operaciones como en $\mathbb{R}$, siendo la única regla sorprendente $1 + 1 =0.$ Es ésta la que permite reconocer que se ’’trabaja sobre el cuerpo con dos elementos’’ : es el caso cada vez que el doble de un elemento cualquiera del grupo abeliano que se manipula es nulo.

La estructura afín de un conjunto con cuatro elementos

Ahora vamos a ilustrar este último punto con el ejemplo resumido en el título. Elijamos un conjunto cualquiera $\mathbf{Mous}$ con cuatro elementos. Llamemos a sus elementos $Ath$, $Por$, $Ara$ y $Dar$. Establezcamos un observador puntual, por ejemplo $Dar$. Definamos la adición $+$ de la siguiente manera :

  • la suma de $Dar$ y de todo elemento $M$ de
    $\mathbf{Mosq}$ es igual a $M$ ;
  • la suma de dos elementos distintos entre $Ath$, $Por$, $Ara$ es igual al tercero entre ambos ;
  • la suma de todo elemento de $\mathbf{Mosq}$ consigo mismo (su « doble ») es igual a $Dar$.

¡Verifique que de esta manera se obtenga una estructura de grupo abeliano sobre $\mathbf{Mosq}$ ! La última regla ¡hace un espacio vectorial sobre el cuerpo con dos elementos ! Pero como esta estructura depende de la elección del observador, que es $Dar$ en mi ejemplo, $\mathbf{Mosq}$ ¡es un plano afín sobre el cuerpo con dos elementos !

Sin embargo, como en el plano euclidiano, las nociones de ’’recta’’ y de ’’paralelismo’’ son independientes de la elección del observador. Aquí, las rectas son todas las parejas de elementos distintos de $\mathbf{Mosq}$ : por lo tanto hay seis, que se organizan en tres pares de rectas paralelas, ilustradas en la siguiente figura.

En un sentido exacto, las aristas opuestas de todo tetraedro ¡son por lo tanto paralelas !

Como aplicación de la figura anterior, querría proponer un ejercicio instructivo para las personas que hayan estudiado un poco de álgebra lineal sobre los cuerpos cualesquiera : mostrar que un espacio vectorial (resp. afín) de dimensión al menos dos sobre un cuerpo $K$ es unión de tres (resp. dos) hiperplanos vectoriales (resp. afines) si y solamente si $K$ es el cuerpo con dos elementos.

Dos aplicaciones

Esto permite hacer el vínculo con esta nota de Benoit Kloeckner. Se trata de una charla de Misha Gromov. Mi nota también está motivada por una charla de Gromov, donde él comenzaba explicando -como en aquél del cual habla Kloeckner- que la fuerza de los conjuntos con cuatro elementos es la de generar naturalmente conjuntos que tengan menos elementos. Acabamos de ver que se trata simplemente ¡del conjunto de parejas de rectas paralelas para su estructura canónica de plano afín !

Gromov ilustraba la importancia de esta reducción numérica con dos ejemplos : la resolución por radicales de ecuaciones de cuarto grado (efectuada de manera diferente por Ferrari a mediados del siglo XVI), y la existencia de estructuras diferenciables ’’exóticas’’ sobre $\mathbb{R}^4$ (Donaldson, a comienzos de los años 1980).
En ambos casos, en efecto, se puede partir de las tres expresiones siguientes, convenientemente interpretadas :
\[ Dar \cdot Ath + Por \cdot Ara, \ Dar \cdot Por + Ara \cdot Ath, \ Dar \cdot Ara + Ath \cdot Por. \]
¿Reconoce usted las parejas de rectas paralelas ?

En lo que se refiere a las ecuaciones de cuarto grado, los cuatro nombres representan sus raíces, y se fabrica de este modo una ecuación de tercer grado asociada naturalmente a la primera.

En el caso de $\mathbb{R}^4$, los nombres representan ’’formas diferenciales de grado uno’’, y su producto ’’exterior’’ es no conmutativo. Es un lindo desafío tratar de explicar en este sitio cómo se llega después a las estructuras diferenciables exóticas. ¿Alguien quiere recogerlo ?

Notes

[1Esta estructura no es « natural » antes de la elección de $O$, ya que la ley de composición depende de ella. Pero se convierte en tal después de la elección.

[2De hecho, el ’’cuerpo con un elemento’’ también es altamente no trivial del punto de vista de la geometría que puede ser hecha encima, pero ésa es otra historia.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Hay cuatro, por lo tanto ¡es un plano !» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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Image à la une - El logo proviene de Wikimedia Commons. Se trata de un dibujo de Maurice Leloir, grabado en madera por Jules Huyot.

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