La Bella Durmiente y las Manzanas

Una simplificación de un problema conocido de probabilidades

Piste rouge Le 7 février 2015  - Ecrit par  Philippe Gay
Le 2 août 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : La Belle au bois dormant et les Pommes Voir les commentaires
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Primeramente, examinamos un problema conocido cuya respuesta, aunque simple, puede llegar a sorprender. Con el fin de poner en evidencia la noción de conjunto de acontecimientos distintos, necesaria para la comprensión de la situación, se buscará una simplificación mediante la ayuda de sorteos clásicos : cara o sello, luego manzanas de colores diferentes en una bolsa. Esta ilustración permitirá comprender mejor el problema de inicio y dominar su resolución. Se terminará el artículo con nociones de filtro o de lupa, que ilustran los sorteos utilizados en este artículo.

La paradoja de la Bella Durmiente del bosque

La paradoja probabilística de la Bella Durmiente del bosque es un clásico. Esta primera sección está dedicada a su presentación [1].

El domingo en la noche, los encargados del experimento hacen dormir a la Bella, llamémosle Aurora, y luego hacen un sorteo con una moneda no trucada :

  • Cara : se despierta a Aurora el lunes en la mañana y los encargados tienen una entrevista con ella ;
  • Sello : se despierta a Aurora el lunes en la mañana y los encargados tienen una entrevista con ella, luego la hacen dormir de nuevo con un tratamiento que le hace olvidar la jornada del lunes ; los encargados la despiertan por segunda vez el martes en la mañana y tienen una segunda entrevista con ella.

Aurora está al tanto de este procedimiento. Ella nota que en cada despertar en presencia de los encargados, no puede distinguir entre lunes y martes. Durante cada una de las entrevistas se pregunta a Aurora si, según ella, se ha lanzado cara o sello el domingo en la noche. Dos puntos de vista divergen :

  • Para los encargados del experimento, hay una chance sobre dos de sacar cara o sello el domingo en la noche ;
  • Pero en los días siguientes la situación es más sutil : cara ocasiona dos veces menos despertares que sello (y también los lunes son por supuesto más numerosos que los martes).

En cada despertar, Aurora hace el siguiente razonamiento :

  • Para ella hay tres posibles despertares : cara-lunes, sello-lunes, sello-martes (cara-martes está fuera de protocolo).
    • Cara : Aurora es despertada el lunes.
    • Sello : Aurora es despertada el lunes y el martes.
  • Cara-lunes y sello-lunes tienen la misma probabilidad (se dice que esos dos casos son equiprobables) ya que se supone que la moneda está bien equilibrada.
  • Cara-lunes y cara-martes tienen la misma probabilidad también, ya que el protocolo las hace igual de frecuentes una que la otra.
  • Esos tres casos (que ella no puede distinguir) son entonces equiprobables.

Entre esos tres casos, una es para cara y dos son para sello. Para verlo, simplemente se aplica la definición de la probabilidad de un acontecimiento : es la relación entre el número de casos favorables (para sello o cara) dividido por el número total de casos (aquí $3$).

Aurora responde :

  • Cara con una probabilidad de $1/3$ ;
  • Y Sello con una probabilidad de $2/3$.

¡Ella tiene una mente realmente metódica [2] !

En esta etapa hay que establecer un hecho a simple vista sorprendente : los examinadores y Aurora no ven los mismos conjuntos de acontecimientos. En efecto, se trata de Cara o Sello por un lado, y de despertares por el otro [3]. Así, ellos obtienen ¡resultados numéricos diferentes !

A continuación vamos a aclarar este punto.

Las simplificaciones

Los experimentadores, Quentin y Rémi, quieren hacer las pruebas de nuevo, ¡pero eso es muy penoso ! El procedimiento es largo y muy incómodo para Aurora, y su sindicato, el CNPF (Consejo Nacional de Princesas de Fábulas) es temido en esta época. Por lo tanto, ellos buscan un procedimiento que proporcionará los mismos resultados, más rápidamente, de modo menos costoso, de manera repetida y más fácil de estudiar. Examinemos las soluciones propuestas por los dos colegas [4].

Primer intento : ¡fracaso !

Quentin propone el siguiente método seductor :

  • Se conserva el procedimiento de sorteo al Cara o Sello ;
    • para Cara : se coloca una manzana verde en una bolsa ;
    • para Sello : se coloca dos manzanas rojas en esa bolsa.
  • Se reemplaza el adormecimiento de Aurora y su despertar por un simple sorteo de una manzana dentro de la bolsa.

Verde para Cara, rojo para Sello, y tantas manzanas como despertares para los dos experimentadores. ¡Las analogías son claras y los beneficios evidentes !

Pero Rémi está escéptico : él estima que se ha simplificado mucho y que eso tuerce el resultado. ¿Qué piensa usted de eso ?

¡Desgraciadamente Rémi tiene razón ! El procedimiento de Quentin es incompleto. Aurora tiene que hurgar en la bolsa hasta vaciarla. Si esto no cambia nada con Cara, dado que sólo habría una manzana verde en la bolsa, con Sello Aurora sería solicitada solo una vez en lugar de dos. ¡Peor aún ! Cada manzana roja vería así reducida su probabilidad de ser elegida (con Sello, pasaría de 1 a 1/2) : ¡un sesgo en la medición intolerable para Rémi [5] !

Segundo intento : ¡éxito !

Luego de esta triste comprobación, Rémi propone modificar el protocolo de esta forma :

  • Se conserva el procedimiento de sorteo mediante Cara o Sello ;
    • para Cara : se coloca una manzana verde en una bolsa ;
    • para Sello : se coloca dos manzanas rojas en esa bolsa.
  • Cuando haya una manzana en la bolsa, se le pide a Aurora que busque adentro. Ella ignora el código de los colores y se le pregunta las probabilidades de Cara y Sello [6].

Los resultados serán así idénticos a aquellos del problema inicial : en promedio, Aurora verá una compota de un tercio de manzanas verdes y dos tercios de manzanas rojas. El sesgo introducido por Quentin ¡desaparece de ese modo !

Quentin se convence. Los dos colegas observan además enormes ventajas :

  • Se puede repetir el experimento tan frecuentemente como se quiera sin sesgar el resultado. Es incluso una característica esencial
  • Aurora puede aún hacerse reemplazar por tantos suplentes como quiera. En el caso de un sorteo de Cara, sería incluso una obligación tener un segundo conejillo de Indias que ignorara si otro pudo precederle.
  • Ya no hay necesidad de costosos sedantes y productos amnésicos, que de ahora en adelante se rechazan.
  • Se puede también llenar y vaciar la bolsa al ritmo que se desee :
    • se llena la bolsa después de, por ejemplo, un centenar de sorteos de Cara o Sello ;
    • la bolsa tendría de ese modo en promedio 50 manzanas verdes y 100 manzanas rojas ;
    • y Aurora podrá venir cuando quiera terminar el experimento, una sola vez o varias, según su disponibilidad [7].

El problema inicial es desconcertante : Aurora está en una situación poco banal. Ahora los sorteos nos llevan a una situación más simple.

¡El trabajo puede comenzar !

Los acontecimientos

Aurora no ve el mismo juego de acontecimientos que los dos investigadores. Antes de proseguir los estudios con Quentin y Rémi, examinemos lo que cada uno puede ver.

Hay tres conjuntos de acontecimientos que se puede separar claramente :

  1. Para Quentin y Rémi, cara o sello (50% ; 50%) ;
  2. Para Aurora, manzana verde o roja (33,3...% ; 66,6...%) ;
  3. Y para cada manzana, ser elegida o no (100% ; 0%). Hay que considerar lícito el procedimiento de Rémi, no el de Quentin, si no habría (66,6...% ; 33,3...%).

El domingo en la noche, Quentin y Rémi utilizan el primer conjunto, y esa es una situación banal.

A continuación, Aurora ve otra cosa distinta : la de los despertares o de las manzanas. De ese modo, conociendo el color, se hace el vínculo con Cara o Sello. En ocasiones uno se sorprende por la respuesta de Aurora, distinta de la de Quentin y Rémi. Pero juzgando acerca de diferentes elementos, el resultado difiere.

Para las manzanas, los acontecimientos ’’elegida’’ y ’’no elegida’’ son útiles para invalidar el procedimiento de Quentin y sobre todo para ilustrar el hecho de que la noción de acontecimiento es muy amplia.

Si uno cambia el conjunto de acontecimientos, una probabilidad puede cambiar. Este es el caso...y el objeto de la paradoja. Pero a veces uno puede esperar lo contrario. Cada uno ha oído hablar de sondeos : al pasar de un panel de, digamos cuarenta millones de electores a mil ¡uno espera que las probabilidades no cambien demasiado !

Además, Quentin nos enseña a expensas suyas que si el procedimiento cambia, incluso de manera ínfima, las probabilidades pueden cambiar también.

Hubo que esperar hasta el siglo XX y a Kolmogorov para tener un conjunto de reglas (se dice ’’axiomas’’) completo y racional que se impusiera para el cálculo de las probabilidades [8]. Sin embargo, Quentin y Rémi lo han seguido, distinguiendo los acontecimientos, los sorteos, atribuyendo las probabilidades y verificando que las operaciones matemáticas (suma de las probabilidades, por ejemplo) se mantengan válidas.

Variantes

Quentin y Rémi examinan ahora otras proporciones de colores. Esta conciencia profesional les permite sacar nuevas conclusiones [9].

Efecto de lupa.
Aurora ve un efecto de lupa de 2 (dos manzanas rojas por una manzana verde). Con un efecto de lupa de 99, ella no tendría más que 1% de chance de ver una manzana verde.

El ’’desplazamiento’’ se vuelve impresionante.

Vayamos más allá y suprimamos la manzana verde. Aurora no será nunca invitada a un sorteo para Cara. Y en cada sorteo, ella dirá seguro ’’Sello’’.

Efecto de filtro.
Se puede al contrario afirmar que se tiene una manzana verde en lugar de dos, frente a dos rojas. Si se colocara dos manzanas verdes en lugar de una, cualquiera que sea el procedimiento (el de Quentin o el de Rémi), las probabilidades ’’verde’’ y ’’roja’’ serían de 50%.

Esta situación es efectivamente más simple de comprender. Quentin y Rémi por un lado, y Aurora por el otro, ven aquí los mismos valores numéricos.

Conclusión

No ha sido sin dificultad, pero Quentin, Rémi y Aurora disponen finalmente de un modelo matemático racional, robusto, probado, simple, flexible, evolutivo... y agradable.

También disponen de nuevos fondos, y ahora buscan modificar el procedimiento para que cada Cara o Sello entregue en promedio todos los días a las 16h00, tres manzanas en lugar de una y media. ¿Ve usted cómo ? [10]

Post-scriptum :

El autor y la redacción de Images des Mathématiques agradecen a los relectores Avner Bar-Hen, Quentin Gendron, Rémi Molinier, Monique Pencréach, Didier Roche y
Jean-Philippe Uzan por sus constructivas sugerencias.

Article original édité par Patrick Popescu-Pampu

Notes

[1Hay muchas maneras de llegar al resultado, como esta de J.-P. Delahaye, y la de esta página. De ellas se han copiado las primeras líneas. No es necesario conocerlas para leer el artículo.

[2Agreguemos que ese tipo de problema generalmente es tratado por las probabilidades condicionales. No obstante, este método es más denso que aquellos vistos en introducción o en simulación.

En resumen :

  • se distingue cuatro acontecimientos equiprobables : Cara– lunes, Cara– martes, Sello– lunes y Sello– martes. Sus probabilidades son todas de $¼$ ;
  • Aurora será despertada en el marco del experimento en tres casos sobre cuatro, o sea una probabilidad de $P(desp) = ¾$ ;
  • La probabilidad de ser despertada sabiendo que se tiene Cara es $P(desp|Cara) = 0,50$ ;
  • La probabilidad de ser despertada sabiendo que se tiene Sello es $P(desp|Sello) = 1,00$ ;
  • La probabilidad de tener Cara sabiendo que Aurora es despertada por los examinadores se obtiene gracias a la fórmula de Bayes :

\[P(Cara|desp) = \frac{P(desp|Cara).P(Cara)}{P(desp|Cara).P(Cara) + P(desp|Sello).P(Sello)} = \frac{0{,}50 \times0{,}50} {0{,}50 \times0{,}50 + 1 \times0{,}50} = \frac{1}{3}\]

  • De la misma manera, la probabilidad de tener Sello sabiendo que Aurora es despertada por los examinadores es :

\[P(Sello|desp) = \frac{P(desp|Sello).P(Sello)}{P(desp|Cara).P(Cara) + P(desp|Sello).P(Sello)} = \frac{1 \times 0{,}50} {0{,}50 \times0{,}50 + 1 \times0{,}50} = \frac{2}{3}\]

Incluso para un problema simple, el empleo de esta fórmula exige mucha atención. Tratemos de simplificar

[3Se puede exagerar : Aurora no ve ni Cara ni Sello, por lo tanto no ve (1/2, 1/2), excepto en el caso especial explicado en el último capítulo.

[4Es habituall presentar el cálculo de probabilidades con ayuda de imágenes simples : sorteos con una moneda, un dado o con ayuda de bolas de colores diferentes en una urna. Aquí, hay que disponer de dos sorteos : el de los experimentadores y el de Aurora. Examinemos cómo.

[5En el problema original, los tres despertares tienen para Aurora probabilidades de 1/3, 1/3 y 1/3. El procedimiento de Quentin daría 1/2, 1/4 y 1/4. Efectivamente no es aceptable.

[6Si Aurora conociera los colores, daría la respuesta apropiada de manera sistemática, mientras que en el problema original esto no es posible.

[7Los dos investigadores utilizan una propiedad interesante : llenar una sola bolsa cien veces da lo mismo que llenar cien bolsas diferentes. En ambos casos se encuentra las proporciones y probabilidades correspondientes a $1/3$ y $2/3$.

[8Esas reglas son detalladas solo en el nivel universitario.

[9Este capítulo completa el artículo de J.-P. Delahaye citado más arriba y que utiliza también las imágenes de lupa y filtro.

[10Aurora propone la solución adecuada : para Cara hay que colocar dos manzanas verdes y para Sello cuatro manzanas rojas. Al cabo de 30 días, cada uno tendrá en promedio 10 manzanas verdes y 20 rojas. Se puede definir la ’’merienda promedio’’ : 1 verde y 2 rojas. Pero aquí todo es ’’promedio’’ : cada día habrá 2 o 4 manzanas para compartir. Para evitar el uso de un cuchillo, Aurora propone aumentar el gasto ¡hasta que haya respectivamente 3 verdes y 6 rojas !

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La Bella Durmiente y las Manzanas» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - Cuadro de Edward Burne-Jones « The Sleeping Beauty » (1870–73), Museo de Arte de Ponce, Puerto Rico.

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