El mundo es matemático

La armonía es numérica

Le 30 octobre 2019  - Ecrit par  Javier Arbonés Pablo Milrud
Le 13 septembre 2022  - Traduit par  Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier
Article original : L’harmonie est numérique Voir les commentaires

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré


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El Instituto Henri Poincaré e Images des Mathématiques han unido sus esfuerzos para supervisar la reedición de la colección El mundo es matemático, publicado por RBA en convenio con Le Monde. En 40 obras, esta colección de calidad, -resultado de un proyecto colectivo de matemáticos españoles- aspira a presentar a través de una gran variedad de puntos de vista, de múltiples facetas, las ciencias matemáticas, bajo un aspecto histórico, humano, social, técnico, cultural...
Revisado y mejorado al nivel de la forma, esta nueva edición fue completamente leída y corregida por el equipo de Images des Mathématiques. Se agregó prefacios y listas bibliográficas. Le Monde consagra un suplemento especial para el lanzamiento de esta colección presentada por Cédric Villani, quien escribió el prefacio original.
Cada semana, con la salida de un nuevo número de la serie, un extracto seleccionado será presentado en Images des Mathématiques. Estará acompañado por un índice del libro y una invitación a prolongar su lectura

Extracto del Capítulo 1 – Tensando la cuerda

(...)

La escala pitagórica

Los pitagóricos organizaron sus escalas basándose en simples relaciones numéricas entre los diferentes sonidos. Así, la escala pitagórica se estructura sobre dos intervalos : la octava -que presenta una relación de frecuencias entre las notas de 2/1- y la quinta, con una relación de frecuencias de 3/2. Los pitagóricos obtuvieron diversos sonidos de la escala encadenando las quintas, y recurriendo entonces a ’’la reducción a la octava’’ para situar esas notas en el rango deseado.

Tomemos el do como ejemplo. Se calcula primero la relación de la primera quinta ascendente para obtener el sol. Un nuevo encadenamiento nos lleva a un re, para continuar con un la, un mi y finalmente un si. Tomando ahora una quinta descendente después del do inicial, se obtiene el fa. Así tenemos los siete sonidos de la escala :

fa←do→sol→re→la→mi→si

Si uno sigue con el encadenamiento de las quintas, puede llegar a los doce sonidos de la ’’escala cromática’’, que forma lo que se denomina el ’’círculo de quintas’’ :

sol $\flat$ ←re $\flat$←la $\flat$ ←mi $\flat$ ←si$\flat$ ←fa←do→sol→re→la→mi→si→fa$ \sharp$

donde los símbolos bemol ( $ \flat$ ) y sostenido ( $ \sharp$ ) designan los ajustes de semi-tono inferior y superior respectivamente.

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Una vez que se han obtenido las doce notas por medio de encadenamientos sucesivos de quintas, bastará con situar los sonidos de la misma escala al nivel de una sola octava, gracias al procedimiento de reducción a la octava.

Calculando

Vamos ahora a determinar el acorde de cada nota por encadenamiento de quintas y ’’reducciones a la octava’’ (es decir, dividiendo o multiplicando por 2), de manera que -recordémoslo- el valor de sus frecuencias relativas se encuentre siempre entre 1 (la relación que afecta a do mismo) y 2 (la relación que mantiene do con el do de la siguiente escala).
Se determina primero el sol, que está a una quinta del do :

\[\text{sol} =\frac{3}{2}.\]

Luego el re, a una quinta del sol (multiplicando por 3/2), pero es necesario ’’reducir en una octava’’ (multiplicando por 1/2) :

\[ \text{re} = \text{sol} × \frac{3}{2} × \frac{1}{2} = \frac{3}{2} × \frac{3}{2} × \frac{1}{2} = \frac{9}{8}.\]

La distancia de do a re se llama un ’’tono’’, y -como se puede esperar de eso- equivale a dos semi-tonos.

Luego el la, a una quinta del re :

\[ \text{la} = {re} × \frac{3}{2} = \frac{9}{8} × \frac{3}{2} = \frac{27}{16}.\]

El mi, a una quinta del la, pero hace falta reducir en una octava :

\[ \text{mi} = \text{la} × \frac{3}{2} × \frac{1}{2} = 2\frac{27}{16} × \frac{3}{2} × \frac{1}{2} = \frac{81}{64}.\]

La escala se completa con el si, a una quinta del mi, y el fa, una quinta bajo el do y subiendo una octava (multiplicando por 2).
En resumen, y tomando el do con un valor normalizado de 1 :

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Este proceso puede continuar para determinar los acordes de teclas negras o bemoles, descendiendo por quintas después del fa :

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La coma pitagórica

Subiendo una quinta de si, se llega al fa $\sharp$, que debería tener el mismo sonido que el sol $ \flat$ alcanzando el otro extremo, después de haber hecho las reducciones a la octava correspondiente. Pero esos dos sonidos no son exactamente idénticos : la diferencia entre el fa $\sharp$ y el sol $ \flat$ se denomina ’’coma pitagórica’’. De la misma manera, después de haber hecho las reducciones a la octava correspondiente, los sonidos terminales fa $\sharp$ -re $\flat$ no se encuentran a la distancia justa de una quinta, sino que forman un intervalo que difiere de ésta por una coma pitagórica. Esta quinta ligeramente más pequeña se llama ’’quinta del lobo’’.

El montaje del ciclo de quintas comprende el encadenamiento de doce quintas para llegar a una nota que es ’’casi’’ la misma que la del comienzo, pero a una distancia de siete octavas :

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La coma pitagórica es ese ’’casi’’. Se puede calcular su valor (llamémosla la CP) partiendo de una frecuencia $f$ y comparando el encadenamiento de doce quintas, y luego $f$ con el encadenamiento de siete octavas :

\[ CP=\frac{f\times\Big(\frac{3}{2}\Big)^{12}}{f\times2^7} = 1,013643265.\]

La diferencia ahora es de un poco más de 1% de una octava, o equivale casi a un cuarto de semi-tono. Esta diferencia se debe al hecho de que el cálculo de la fracción que definió la quinta es incompatible con la octava, como se ve fácilmente.

Para eso, veamos si hay dos exponentes cualesquiera, $p$ y $q$, que nos permitan ’’casar’’ las dos fracciones :

\[ \Big(\frac{3}{2}\Big)^p=2^q\]
por lo tanto
\[ \frac{3^p}{2^p} = 2^q\]
por lo tanto
\[3^p=2^q\times2^p\]
por lo tanto
\[3^p=2^{q+p}.\]

Se deduce de la última expresión que uno podría encontrar un número que sea a la vez potencia de 2 y de 3. Sin embargo, y visto que tanto 2 como 3 son números primos, esto contradiría el teorema fundamental de la aritmética, según el cual todo entero positivo tiene una sola representación como producto de números primos. Ese teorema, postulado por Eucides, fue completamente demostrado por primera vez por Carl Friedrich Gauss. Se deduce que los intervalos de quintas y de octavas definidos por los pitagóricos no irán nunca en par, o -lo que es lo mismo- que no hay escala cromática sin coma pitagórica como inevitable acólito.

(...)

PDF - 1.5 Mo
Sommaire du livre
Post-scriptum :

El extracto propuesto fue elegido por la autora del prefacio del libro Sylvie Benzoni. Ella responderá los eventuales comentarios.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «La armonía es numérica» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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