La espiral áurea

Le 26 mars 2009  - Ecrit par  Pierre de la Harpe
Le 13 juin 2022  - Traduit par  Edgard Araya, Andrés Navas, Pilar Garcés
Article original : La spirale d’or Voir les commentaires
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Esta publicación responde al comentario de J.-P. Brissaud a mi artículo El número áureo en matemáticas.

Si te fascinan las espirales, continúas una tradición de ilustres predecesores, por ejemplo, de Jakob Bernoulli (1654-1705), quien dispuso que fuera grabado en su tumba en Basilea una espiral logarítmica acompañada de la inscripción

Eadem mutata resurgo.

Traducción palabra por palabra :
mutante = mutata,
reaparezco = resurgo,
idéntico = eadem.
(Hasta hoy se puede dudar :
¿Es la espiral después de la rotación ?
¿O es Bernoulli después de su muerte ?)

Dado un plano para el que hemos elegido un origen $O$, llamamos espiral de centro $O$ a una curva descrita en este plano por un punto
sometido simultáneamente a un movimiento de rotación alrededor de $O$
y una traslación alejándose de $O$. Por tanto, hay varios tipos de espirales, cada uno correspondiente a una adecuada proporción del alejamiento con la rotación. (Otras curvas, en particular la espiral de Euler, no entran dentro de la definición de ’’espirales’’ adoptada aquí).

En particular, una espiral logarítmica se describe en coordenadas polares mediante dos ecuaciones paramétricas :
\[ r = \mu^t r_0 \quad \text{y} \quad \theta = \theta_0 + t , \]
donde $t$ es un parámetro que podemos considerar como tiempo,
y donde $(r_0,\theta_0)$ son las coordenadas del punto
describiendo la espiral en el origen del tiempo.
esta espiral también se describe mediante la ecuación única
\[ r = r_0 \mu^{\theta} \]
(si aceptamos la elección de coordenadas tal que $\theta_0 = 0$).
Aquí hay una propiedad característica de tal espiral :
su imagen por una homotecia de centro $O$
es idéntica a su imagen por una rotación del mismo centro
.
Las animaciones que ilustran esta propiedad
ciertamente contribuyen a la fascinación
que pueden ejercer las espirales ; ver por ejemplo el sitio
mathcurve.

No todas las espirales son ’’logarítmicas’’.
Consideremos por ejemplo
la espiral de Arquímedes de ecuación
$r = r_0 \theta$, de la que podemos ver
un ejemplo aquí.

Esa es la curva que podemos ver hoy
en la catedral de Basilea sobre la tumba de Jakob Bernoulli,
tras un error del grabador (ya que Bernoulli
realmente quería una espiral logarítmica).
Sin mencionar las escaleras de caracol
(que recuerdan una curva en el espacio tridimensional,
curva que los matemáticos prefieren llamar hélice),
las espirales de humo, la espiral de precios, la espiral del vicio,
o la espiral que evoca Victor Hugo en
’’La pendiente del ensueño’’,
de la colección ’’Hojas de otoño’’ :

Amigos, no profundicen en sus queridos ensueños ;
No escudriñen el suelo de sus llanuras floridas ;
(...)
La espiral es profunda, y cuando bajas allí,
Se prolonga y se ensancha sin cesar,
Y por haber tocado algún enigma fatal,
¡ De este oscuro viaje a menudo volvemos pálidos !

Para el texto completo (en francés), revise esta
página.

La espiral áurea es un caso particular de una espiral logarítmica,
aquel para el que el parámetro $\mu$
está dado en términos del número áureo $\varphi\approx 1,618$
por la relación $\mu = \varphi^{2/\pi}$.
Es esta espiral áurea la que tiene una excelente aproximación
por otra curva, la espiral de Fibonacci,
reunión de una serie de cuartos de círculo de radios
$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots$,
cada una tangente a la anterior.
Podemos ver la excelencia de la aproximación
en la versión en inglés de página de Wikipedia
dedicada al número áureo.

Volviendo a este comentario,
¿por qué no mencioné estas espirales ?
Invocaré la difícil elección de las cosas que decir,
ya que habría tantas otras.

En cuanto al papel que juega o no el número áureo
en la arquitectura egipcia,
solo puedo agregar una broma :
es muy difícil demostrar que no juega papel alguno en ella,
y es bastante fácil demostrar que el papel que a veces hemos querido que desempeñe
proviene más de la imaginación de los comentaristas que de la intención
de los arquitectos egipcios.
Vean el libro de Delahaye citado al final de mi artículo
o el libro de Marguerite Neveux citado en el mensaje
de Alain Valette, que precedió al suyo.
Pero esto es solo una broma, porque mi incompetencia en arquitectura
es visible.

Aunque mi incompetencia en biología es igual de brutal,
tengo un prejuicio mucho más favorable por las consideraciones
del biólogo D’Arcy Thompson (1860-1948) :
en su fascinante libro Sobre crecimiento y forma
(ediciones de 1917 y 1942), dedica un capítulo entero
a las espirales equiangulares (otro nombre para espirales logarítmicas)
y su aparición en plantas y animales.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas, Edgard Araya, Pilar Garcés — «La espiral áurea» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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