Las matemáticas de la morfogénesis (I)

La otra gran contribución de Alan Turing

Hors piste Le 20 novembre 2012  - Ecrit par  Pascal Chossat
Le 13 novembre 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Les mathématiques de la morphogénèse (I) Voir les commentaires
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En 1952 Alan Turing publicó un artículo titulado ’’The chemical basis of morphogenesis’’, en el cual introdujo ideas fundamentales acerca de los mecanismos de la formación espontánea de estructuras en las reacciones químicas, y en especial en los organismos vivientes. El tratamiento matemático de este problema se aplica a numerosos campos, tales como la hidrodinámica, la cristalografía, la dinámica de poblaciones, por citar solo tres. Esto refleja la existencia de ’’clases de universalidad’’ de las formas y de su aparición en los sistemas naturales.

Las formas y la morfogénesis en la naturaleza

La observación de la naturaleza muestra que esta tiende a organizarse en estructuras ordenadas. Decir que son ordenadas significa que la forma puede ser, al menos en una primera aproximación, descrita geométricamente de manera simple, utilizando la idea de simetría (es flagrante en el caso del copo de nieve de acá abajo).

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Por supuesto hay subestructuras más o menos complicadas, que también pueden incluso tomar un aspecto fractal (es el caso del copo...), pero la forma general es simple. Es natural pensar que las estructuras deben estar asociadas a ciertos tipos de condiciones físicas o fisico-químicas. Sin embargo, algunas formas se observan con mayor frecuencia que otras y en condiciones muy variadas. Aquí hay algunos ejemplos de estructuras con motivos que se repiten periódicamente y cuya forma es más o menos hexagonal.

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En el mundo vivo la forma, los motivos sobre un pelaje, una concha, son características de una misma especie incluso si los detalles varían de un individuo a otro.

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¿Cómo y por qué esas formas particulares y no otras son seleccionadas en el transcurso de procesos fisico-químicos que se ponen en acción en el mundo vivo o inanimado ?

En su artículo ’’Los fundamentos químicos de la morfogénesis’’ [1], Turing mostró cómo las reacciones entre sustancias químicas que él llamaba morfógenos, aparejadas a un proceso de difusión de esas sustancias a través de los tejidos vivos, podían dar lugar a la aparición de tales estructuras. En ese artículo introdujo un modelo matemático llamado ’’ecuaciones de reacción-difusión’’, así como el estudio de este modelo en ciertos casos relativamente simples. Este trabajo pionero dio lugar luego a numerosos desarrollos y variantes y se extendió a otros campos más allá de la biología, como por ejemplo la dinámica de poblaciones (formación de estructuras espaciales en los ecosistemas). El lector interesado puede consultar a este respecto el libro de J. D. Murray [2] que es una referencia para la materia.

Este modelo ha sido criticado porque los mecanismos que él pone en juego se encuentran muy simplificados. Desde el artículo de Turing, los descubrimientos acerca de la existencia y el funcionamiento de los genes han mostrado hasta qué punto los procesos internos de las células son complicados. Los modelos más ’’realistas’’ serán considerablemente más complejos que aquellos imaginados por Turing. Sin embargo, si uno se pone en un marco más cualitativo, las ideas de Turing se revelan muy fecundas. Esto ha sido reconocido por matemáticos como René Thom, que han tratado de extraer de los trabajos de Turing y de otros algunos principios ’’universales’’ aplicables a todos los campos de las ciencias naturales, apoyándose en teorías geométricas (teoría de singularidades).

De este modo, dos puntos de vista se desarrollaron para elaborar una teoría matemática de la morfogénesis. Una privilegia el modelo (las ecuaciones que describen el sistema estudiado) y usa las herramientas del análisis, especialmente la teoría de las bifurcaciones, para determinar qué estructuras se desarrollan y de qué manera. La otra se aplica a clasificar los escenarios por los cuales aparecen las formas sin centrarse en un modelo especial. Estos dos enfoques complementarios han permitido progresos considerables en los últimos treintena años en la comprensión de la morfogénesis. Esto no se limita a los problemas de origen biológico que interesaban a Turing. Como ejemplos, citemos la cristalización (más generalmente las transiciones de fase en los materiales), las células de convección en la atmósfera o en el núcleo de la Tierra (¡deriva de los continentes !), la organización espacial de poblaciones animales o vegetales en competencia...

Voy a presentar ahora el punto de vista analítico apoyándome en el ejemplo de Turing : la morfogénesis en un conjunto de células dispuestas sobre un anillo y aparejadas unas a otras por sus vecinos más cercanos. En un segundo artículo me liberaré del modelo y extenderé este estudio al caso donde el campo espacial considerado es un plano.

La morfogénesis según Turing

Turing postuló que las formas y los diseños que aparecen en los organismos vivos durante su desarrollo son iniciados por la interacción de sustancias que él llamaba « morfógenos », que a la vez reaccionan entre ellas al seno de las células del organismo, pero que también se difunden a través del tejido celular y por lo tanto interactúan entre células contiguas. Esas células pertenecientes a un cierto tipo de tejido son a priori todas idénticas. En ausencia de interacción entre células, la concentración de los morfógenos evoluciona hacia un estado de equilibrio, es decir, constante en el tiempo, que es el mismo en todas las células. El estado correspondiente para el organismo es, por lo tanto, homogéneo : no hay una estructura discernible. Lo que produce la estructura debe entonces provenir de la interacción entre los morfógenos de células distintas. Pero a primera vista parece difícil comprender cómo esto puede producirse solo gracias al proceso de difusión. En efecto, se debe tener un efecto uniforme (se dice también isótropo), ya que las células son idénticas. Además, este proceso debería más bien amortiguar eventuales fluctuaciones alrededor del estado de equilibrio. En efecto, él tiende a disipar las concentraciones de morfógenos en el conjunto del tejido celular, de la misma manera que la difusión del calor a través de un cuerpo conductor lo disipa.

La idea de Turing era por lo tanto audaz, más aún cuando para estudiar este problema matemáticamente, él consideró ecuaciones que son « las más simples posibles », que satisfacen las propiedades de reacción química entre morfógenos y de difusión a través de las células (se les llama ecuaciones de reacción-difusión). Más exactamente, él supuso que el proceso podía explicarse con ayuda de dos especies químicas [3] $A$ y $B$, una de las cuales, $A$ por ejemplo, es capaz de activar a la vez tanto la producción del morfógeno $B$ como su propia producción (actividad auto-catalítica), y la otra tiene una acción inhibitoria sobre la primera. Esta condición es necesaria para que la reacción evolucione hacia un estado de equilibrio en cada célula considerada independientemente de las otras. En un sistema ’’real’’ las reacciones químicas son mucho más complicadas.

Turing hizo otra hipótesis que puede parecer a primera vista excesivamente simplificadora pero que se reveló en extremo fecunda. Él supuso que el mecanismo de difusión de los morfógenos en el tejido celular era isótropo, es decir, sin dirección privilegiada. Esto implica que las ecuaciones son invariantes por las simetrías del dominio ocupado por el tejido en el espacio. Veremos más abajo, en un ejemplo, lo que esto quiere decir. Esta hipótesis permite predecir estructuras macroscópicas observadas en el mundo viviente.

Vamos a ver un ejemplo de ecuaciones que satisfacen las hipótesis de Turing. Se trata de una red de $N$ células conectadas con sus vecinos mas próximos a lo largo de un anillo. El número $N$ es finito, pero puede ser grande (del orden de $10^6$, por ejemplo). Esta red se enrolla sobre sí misma : la célula $N$ está conectada por un término de difusión a la célula $N-1$ pero también a la célula $1$, como se ve en la figura de abajo.

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¿A qué situaciones puede aplicarse este caso ? Por ejemplo, a la morfogénesis del brazo o de tentáculos como los de esta medusa del género Pelagia (foto tomada por el autor entre Cannes y St Raphael, Francia).

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En el recuadro de abajo, $X_j$ e $Y_j$ son las concentraciones de morfógenos $A$ y $B$ en la célula número $j$, con $j$ comprendido entre $1$ y $N$ y con la convención de que $N+1=1$. Hay por lo tanto $2N$ ecuaciones en total.

Un ejemplo de ecuaciones de reacción-difusión para una red anular de células :
\[\frac{dX_j}{dt} = a-bX_j+\frac{X_j^2}{Y_j} + d_A(X_{j-1}-2X_j+X_{j+1}) \\ \frac{dY_j}{dt} = -Y_j+X_j^2 + d_B(Y_{j-1}-2Y_j+Y_{j+1})\]

Los miembros de la izquierda de estas ecuaciones son las velocidades de evolución (derivadas en relación al tiempo $t$) de la concentración de los dos morfógenos. Se trata de ecuaciones diferenciales cuyas soluciones son funciones del tiempo : $X_j(t), Y_j(t)$.

Los miembros de la derecha son la suma de dos expresiones. La primera depende solo de las concentraciones en la célula $j$ misma. Si no, las células no están conectadas, es decir, si suponemos $d_A=d_B=0$, se ve que cada célula evoluciona independientemente de las otras. Es la parte ’’reacción’’ de las ecuaciones. Digamos algunas palabras acerca del origen de estos términos de reacción. Los coeficientes $a$ y $b$ son números positivos que caracterizan la reacción química. Los términos $a-bX_j$ e $-Y_j$ expresan la degradación de las moléculas de los morfógenos $A$ y $B$ en el transcurso de la reacción. Si solo esos términos estuvieran presentes en el miembro de la derecha de las ecuaciones, la concentración del morfógeno $A$ tendería hacia el valor límite $a/b$ y la del morfógeno $B$ tendería a 0 a medida que el tiempo $t$ transcurre [4]. El término $X_j^2$ expresa el hecho de que la reacción es catalítica : produce morfógeno $A$ (autocatálisis) y morfógeno $B$. Sin embargo, en la primera ecuación este término es dividido por $Y_j$, lo que implica que cuando la concentración de $B$ crece, se opone a la producción de $A$, lo que traduce el efecto inhibidor de $B$.

Las expresiones en factor de los coeficientes de difusividad $d_A$ y $d_B$ son los términos de difusión. Esos términos representan un cambio de concentración de los morfógenos entre la célula $j$ y sus vecinos más cercanos. Se observa que si uno reemplaza en estos términos el número $j$ por $j+1$, obtiene los términos de la célula $j+1$ (con la convención $N+1=1$). Si, por otra parte, uno permuta $j-1$ y $j+1$ el término de difusión no cambia. El lector verificará sin esfuerzo que efectuar sobre los miembros de la derecha de las ecuaciones una permutación de los índices de la forma $j\mapsto N-j$ (siempre con la convención que $N+1=1$), es lo mismo que efectuar esta permutación sobre los miembros de la izquierda de las ecuaciones. En resumen, las ecuaciones no cambian si se efectúa ya sea una permutación circular de los índices (que son -recordémoslo- definidos ’’módulo $N$’’, es decir que $N+1=1$), o una permutación $j\mapsto N-j$.
Esas dos transformaciones corresponden a simetrías de rotación y de reflexión de un polígono regular de $N$ lados. En efecto, enumerando los vértices del polígono de $1$ a $N$ se ve que la permutación $j\mapsto j+1$ corresponde a una rotación de ángulo $2\pi/N$, que escribimos $R$. Por lo tanto, iterando $N$ veces $R$ se encuentra la configuración inicial : $R^N=I$ (se escribe $I$ la transformación « identidad »). Colocando el vértice $N$ sobre el eje horizontal del plano, se ve también que la permutación $j\mapsto N-j$ corresponde a la reflexión en relación al eje horizontal, que escribimos $S$. Por supuesto, se tiene $S^2=I$. El conjunto de las combinaciones de esas transformaciones contiene $2N$ elementos : $N$ rotaciones de ángulos $2k\pi/N$ ($k=1,\dots,N$) y $N$ reflexiones en relación a los ejes de simetría del polígono (vea la figura).

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Yo escribí más arriba que $N$ es un número grande. Vamos a suponer ahora que $N$ es infinito. El polígono de $N$ vértices considerado más arriba pasa a ser entonces un círculo cuyos puntos son todos vértices. Como cada vértice representa una célula, ahora se tiene una infinidad de células, cada una de ellas indexada ya no por un número entero, sino por un ángulo (número real) entre $0$ y $2\pi$. Por supuesto, en realidad hay sólo un número finito de células, pero este paso al límite continuo es un proceso frecuente en modelización de fenómenos físicos o químicos, que uno sabe justificar rigurosamente en numerosos casos (como aquí).
En consecuencia, de aquí en adelante, una célula ya no está indexada por un número entero, sino por un ángulo que localiza su posición sobre el anillo. Uno escribirá $X(\phi,t)$ e $Y(\phi,t)$ en lugar de $X_j(t)$ e $Y_j(t)$ ($\phi$ está definido entre $0$ y $2\pi$), y estas funciones toman el mismo valor en $0$ y en $2\pi$ (funciones definidas sobre un círculo). Esto modifica la expresión de los términos de difusión pero nosotros no necesitaremos su forma explícita. Ahora las ecuaciones de reacción-difusión son invariantes por las simetrías del círculo : rotaciones de ángulo arbitrario y reflexiones en relación a los diámetros del círculo. El conjunto de esas transformaciones se escribe $O(2)$. Esta propiedad juega un rol esencial en la búsqueda de soluciones de nuestras ecuaciones y en la comprensión del mecanismo por el cual las estructuras que aparecen son seleccionadas.

Las ecuaciones de reacción-difusión poseen una solución independiente del tiempo y, por lo tanto, un estado de equilibrio (se dice también un estado estacionario), el cul es además invariante por las transformaciones del grupo $O(2)$. En otras palabras, para esta solución todos los $X(\phi)$ son iguales entre ellos, lo mismo para los $Y(\phi)$. Se dice que esta solución, o este estado, es homogéneo. Se ve, en efecto, que los términos de difusión son nulos en ese caso (uno lo verifica primero en la expresión dada en el recuadro de arriba y sigue siendo cierto después del paso al límite continuo). En consecuencia, para calcular estas soluciones, basta con resolver las dos ecuaciones algebraicas
\[0 = a-bX+\frac{X^2}{Y} \\ 0 = -Y+X^2\]
La única solución es $\hat X=\frac{a+1}{b}$ e $\hat Y=\hat X^2$. Se obtiene así la solución homogénea del sistema de reacción-difusión con $X(\phi)=\hat X$ e $Y(\phi)=\hat Y$ para todo ángulo $\phi$.

Nos hacemos ahora la pregunta de la estabilidad asintótica, o en términos no matemáticos, de la observabilidad de este estado de equilibrio homogéneo. Para comprender esta noción utilizaré una analogía. Tome un bolígrafo y colóquelo entre dos dedos, de modo que no se caiga al suelo, pero que pueda oscilar libremente (no es tan fácil...). El bolígrafo pende verticalmente, no se mueve. Es un punto de equilibrio estable ya que si usted lo desvía ligeramente de su posición vertical, volverá ahí oscilando cada vez con menor amplitud (a raíz de las fricciones). Ahora tome un extremo del bolígrafo sobre su dedo (o sobre una mesa) y sosténgalo verticalmente. Si usted ajusta cuidadosamente la posición, cuando suelte el bolígrafo se quedará inmóvil durante algunas décimas de segundo pero inevitablemente se caerá... Hay una posición de equilibrio vertical en ese caso, pero es inestable. Se sabe que la estabilidad depende de la posición del centro de gravedad del bolígrafo en relación al punto de apoyo...

Regresemos a nuestro estado de equilibrio homogéneo. La teoría de ecuaciones diferenciales estipula que si uno se da funciones $X(\phi)$ e $Y(\phi)$ (es decir, una condición inicial) suficientemente ’’cercanas’’ del estado estacionario definido por $(\hat X$ e $\hat Y)$ [5], entonces existe una y solo una solución que ’’parte’’ de este estado inicial y que está definida por al menos un cierto intervalo de tiempo. La solución puede estar también definida para todo $t$ y tender hacia el estado estacionario homogéneo cuando $t$ tiende al infinito. Si este es el caso para toda condición inicial suficientemente próxima al estado homogéneo, entonces este estado es estable. Es inestable en el caso contrario.

Si sacamos los términos de difusión de las ecuaciones, es decir, si colocamos $d_A=d_B=0$, entonces el estado homogéneo es estable si el punto $(a,b)$ se encuentra en la región del plano definida por la desigualdad $b<\frac{1+a}{1-a}$. Esto está ilustrado en la figura de abajo, que muestra dos trayectorias (azul y roja) calculadas para una pareja $(X,Y)$ (no se necesita del índice $j$ ya que todo es igual para todos los índices) en el caso $a=0,1$ y $b=1$. Se ve que las dos trayectorias convergen justo hacia el punto de equilibrio $\hat X=1,1$, $\hat Y=1,21$ (hay que notar la convergencia en espiral, que representa una oscilación amortiguada, como en el caso del bolígrafo...).

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¿Qué pasa cuando $d_A$ y $d_B$ son diferentes de 0 ? Hemos fijado $a$ y $b$ tales que $b < a+1$, entonces por lo anterior el estado homogéneo es estable bajo perturbaciones que son ellas mismas homogéneas. Queremos saber si es el caso para perturbaciones que dependen del ángulo $\phi$. Para esto se supone una condición inicial muy vecina del estado homogéneo y se estudian las soluciones de las ecuaciones satisfechas por $X-\hat X$ e $Y-\hat Y$ (es decir, las perturbaciones del estado de base). Si esas soluciones tienden todas hacia 0 cuando $t$ tiende al infinito, el estado de base homogéneo es estable. Este estudio recurre a la noción de ’’linearización’’ de las ecuaciones en torno a la solución nula y a la búsqueda de soluciones bajo la forma de funciones ’’armónicas’’ $\cos{(k\phi)}$ y $\sin{(k\phi)}$ donde $k$ es un entero cualquiera.
De los cálculos de Turing resulta que existe un valor particular de $d_A$ tal que, cuando $d_A$ es más pequeño que este valor, todos los armónicos son amortiguados cuando $t$ tiende al infinito, mientras que en este valor existe un $k$ ’’crítico’’ que escribimos $k_c$ para el cual los armónicos de número de onda $k_c$ ya no son amortiguados : la estabilidad del estado de equilibrio homogéneo cambia en este valor de $d_A$ y ese cambio está asociado a la bifurcación de un nuevo estado de equilibrio, que ya no es homogéneo sino que posee la estructura de una onda periódica de período $2\pi/k_c$. Pasa a ser lo mismo que decir que esta solución posee $k_c$ ’’lóbulos’’ uniformemente repartidos a lo largo del anillo.

La siguiente figura muestra una estructura de ese tipo con $k_c=7$. El color indica la concentración del morfógeno $A$ por ejemplo. Se ve que, pese a que inicialmente la solución estable sea homogénea y por lo tanto coloreada de manera uniforme, la solución ’’bifurcada’’ presenta una variación regular de la concentración alrededor del anillo. Esta inhomogeneidad tiene como consecuencia, según Turing, el inicio del desarrollo de estructuras ahí donde la concentración en morfógeno es fuerte. Esto puede corresponder, por ejemplo, a la formación de los tentáculos de la medusa Pelagia...

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Comentario. Más que células formando un anillo, uno habría podido considerar el caso de células alineadas sobre una recta. Las rotaciones se convierten entonces en traslaciones. El cálculo habría sido ligeramente diferente, pero el resultado similar, con soluciones formando una variación periódica de la concentración de los morfógenos a lo largo de la recta. A modo de ilustración, observe la imagen de la serpiente al inicio de este artículo : la alternancia de anillos blancos y rojos corresponde precisamente a una variación periódica de la concentración de morfógenos que definen la pigmentación de la piel...

Se muestra que el problema se reduce a la resolución de la siguiente ecuación simple donde $x$ representa la ’’amplitud’’ de la solución proyectada (en un sentido que yo no definiré aquí) sobre el armónico $\cos{(k_c\phi)}$ [6] :
\[\frac{dx}{dt} = \lambda x-c x^3.\]
Se ve que $x=0$ es un punto de equilibrio que corresponde al estado de equilibrio homogéneo de inicio. El parámetro $\lambda$ (’’lambda’’) puede ser definido como la separación de $d_A$ a su valor crítico. El coeficiente $c$ puede ser determinado a partir de ecuaciones de reacción-difusión. La inestabilidad se produce cuando $\lambda$ pasa a ser positivo. Si $c$ es positivo, dos nuevos estados de equilibrio aparecen en la bifurcación : $\pm\sqrt{\lambda/c}$ (vea la figura).

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La rama de arriba y la de abajo se corresponden exactamente cuando se reemplaza $x$ por $-x$ y corresponden a la misma solución simplemente ’’girada’’ en un ángulo $\pi/k_c$. Además hay cambio de estabilidad entre la solución nula cuando $\lambda<0$ y las soluciones bifurcadas cuando $\lambda>0$.

Este diagrama de bifurcación se encuentra frecuentemente en presencia de simetrías. Se le llama la bifurcación ’’pitchfork’’ (horquilla). Hay una menear simple para realizar una bifurcación ’’pitchfork’’ : tome una regla de plástico flexible, póngala verticalmente sobre una mesa y manténgala con su índice por el extremo superior. Ejerza sobre la regla una presión moderada : no sucede nada. Apóyese más fuerte... en un momento dado la regla va a doblarse, ya sea hacia un lado o al otro (no hay ningún medio para saber con anterioridad a cuál lado, si es que la regla no presenta ’’defectos’’). La flexión hacia un lado o al otro corresponde a una u otra de las puntas de la horquilla. Este problema es conocido bajo el nombre de elástica y fue enunciado (y resuelto) por Euler en 1744...

Uno llegaría al mismo resultado con ecuaciones de inicio que no son del tipo reacción-difusión, pero que por ejemplo modelizan una inestabilidad hidrodinámica. Para ilustrar este hecho, el lector puede ver un video en la dirección URL http://vimeo.com/17244408. Ahí se ve un experimento de electro-convección con una película delgada de cristal líquido de forma anular. Un movimiento de electro-convección aparece y se organiza en una estructura análoga a la calculada en el párrafo anterior. Aquí se cuenta 7 ’’ondas’’ que tienen la forma de hongos (células de convección). Ese número depende del espesor relativo del anillo.

En un segundo artículo presentaré una generalización de esta teoría en el caso de un plano (por lo tanto no unidimensional como aquí), lo que me permitirá mostrar un enfoque más geométrico de este problema, dejando en segundo plano las ecuaciones.

Post-scriptum :

El autor debe agradecer a François Béguin, Julien Melleray y al conjunto de relectores : Julien Vovelle, subshift, B !gre y alchymic666, por sus juiciosos comentarios que han permitido una mejoría sustancial del contenido.

Article original édité par Étienne Ghys

Notes

[1A. Turing. The chemical basis of morphogenesis, Phil. Trans. R. Soc. Lond. B 1952 237, 37-72.

[2J.D. Murray. Mathematical Biology, tomos 1 y 2, Interdisciplinary applied mathematics, Springer (1989).

[3Se puede mostrar que una sola especie química no es suficiente para engendrar la estructura.

[4Las ecuaciones se reducirían entonces \[\frac{dX_j}{dt} = a-bX_j, \\ \frac{dY_j}{dt} = -Y_j\] cuyas soluciones se escriben $X_j(t)=a/b+e^{-bt}(X_j(0)-a/b)$ e $Y_j(t)=e^{-t}Y_j(0)$. Los valores de $X_j$ e $Y_j$ en el momento $t=0$ son la condición inicial de la solución que ellos determinan de manera única.

[5Para precisar esta noción de proximidad uno puede conformarse con decir que $|X(\phi)-\hat X |$ e $|Y(\phi)-\hat Y |$ son más pequeños que un número positivo dado cualquiera que sea el ángulo $\phi$.

[6El proceso de la demostración es un típico ejemplo de aplicación de la teoría de las bifurcaciones en presencia de simetría. Resulta de un teorema muy potente de la teoría de las ecuaciones diferenciales, que solo las componentes de las soluciones correspondientes a los armónicos críticos (de número de onda $k_c$) deben ser tomados en cuenta para la resolución del problema de bifurcación. Esto reduce el problema a una ecuación para la amplitud $x$ (sobre el armónico $\cos{(k_c\phi)}$) y para la amplitud $y$ (sobre el armónico $\sin{(k_c\phi)}$).
Se obtiene de este modo un sistema reducido de dos ecuaciones diferenciales de la forma
\[\frac{dx}{dt} =h(x,y) \\ \frac{dy}{dt} =k(x,y).\]
Pero además, estas ecuaciones heredan la invariancia de las ecuaciones de reacción-difusión relacionadas con la acción del grupo $O(2)$, es decir, por las rotaciones y reflexiones en el plano $\{(x,y)\}$.
Remarquemos ahora que cualquier punto del plano $(x,y)$ queda fijo bajo la reflexión con respecto al eje que pasa por ese punto (eje de simetría). Dada la invarianza de las ecuaciones, si una condición inicial pertenece a un eje de simetría, entonces toda la trayectoria resultante de esta condición inicial está contenida en este eje. Además, ocurre exactamente lo mismo con cualquier eje, porque las ecuaciones son invariantes por todas las rotaciones, y por lo tanto, uno puede reducirse a un eje dado por una rotación de ángulo adecuado. De esto se concluye que basta con restringirse a una sola ecuación, la cual puede reducirse a la forma simple indicada.

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Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Las matemáticas de la morfogénesis (I)» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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