Los lagos de Wada

Piste rouge Le 4 octobre 2009  - Ecrit par  Étienne Ghys, Jos Leys
Le 2 août 2022  - Traduit par  Edgard Araya, Andrés Navas, Pilar Garcés
Article original : Les lacs de Wada Voir les commentaires
Lire l'article en  

La idea de frontera es central en matemáticas. ¿No dijo el matemático René Thom que básicamente era lo único que le había interesado en su carrera ? ¡Aunque esto fue ciertamente una exageración !

Las fronteras

Comencemos con un ejemplo muy simple. Consideremos el siguiente disco dibujado en el plano.

Seamos específicos : estamos hablando del disco abierto. Por definición, es el conjunto de puntos cuya distancia desde un centro es estrictamente menor que el radio. La circunferencia que se muestra en negro, el conjunto de puntos cuya distancia es igual al radio, es la frontera del disco. Esta palabra no sorprenderá a nadie, pero ¿qué definición general de frontera se podría imaginar ? Acá hay una :

Definición

Sea $X$ una porción del plano. Un punto $p$ del plano se llama ’’punto frontera de $X$’’ si tiene las siguientes propiedades :

  • podemos encontrar puntos de $X$ tan cerca de $p$ como queramos,
  • podemos encontrar puntos que no están en $X$ tan cerca de $p$ como queramos.

El conjunto de estos puntos forma la frontera de $X$.

Comprobemos primero que esta definición funciona bien en el caso de nuestro disco. Un punto del disco está a una distancia estrictamente menor que el radio y, por lo tanto, es igual para todos los puntos que están bastante cerca de él : en una pequeña vecindad de cualquier punto del disco (abierto), encontramos solamente puntos en el disco. Por lo tanto, ningún punto del disco está en la frontera.

De la misma manera, si un punto está a una distancia estrictamente mayor que el radio, también lo están todos sus vecinos bastante cercanos y, por lo tanto, no está en la frontera.

Por otro lado, si un punto está sobre la circunferencia, su distancia es exactamente igual al radio, por lo que podamos encontrar tan cerca como queramos puntos que están en el disco y puntos que no están.

La frontera del disco es, por lo tanto, la circunferencia y, por lo tanto, nuestra definición pasa la prueba de ’’verosimilitud’’.

Aquí hay una segunda situación. La siguiente figura representa el mapa de Europa.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Europe_countries_map_fr.png {PNG}

Podemos pensar en cada país como parte del plano (o de la esfera, si recordamos que la Tierra es redonda... pero esto no es importante aquí). Tomaremos la convención de que los países son ’’abiertos’’ en el siguiente sentido :

Definición Sea $X$ una porción del plano. Se dice que $X$ es abierto si tiene la siguiente propiedad. Para cada punto $p$ de $X$, hay un pequeño disco centrado en $p$ que contiene solo puntos de $X$.

Por ejemplo, el disco que llamamos « abierto » anteriormente está, por supuesto, abierto. Decir que un país -como Francia por ejemplo- es ’’abierto’’ equivale a decidir que cada lugar de Francia está ’’bien anclado’’ en Francia : está rodeado por un pequeño dominio exclusivamente francés. Esto equivale a decidir, por ejemplo, que un punto fronterizo entre dos países no se encuentra de hecho en ninguno de los dos países. No sabemos si los juristas han debatido alguna vez esta importante cuestión de si un punto puede estar en dos países al mismo tiempo. Sea como fuere, no vamos a hacer la guerra por un solo punto, que no tiene dimensión -como todos saben-.

Volvamos sobre el mapa. Vemos un cierto número de países, que por lo tanto están abiertos, separados por un cierto número de curvas, las fronteras de estos países. Como se ve en el mapa, un punto fronterizo es generalmente la frontera entre dos países y no más. A veces, existen estos famosos puntos triples, que tienen una importancia estratégica, y que fueron objeto de un artículo en ’’Images des Maths’’. Por lo general, no hay puntos cuádruples, pero puede ocurrir cuando la historia es demasiado reciente o cuando las fronteras se han trazado con grandes golpes de decisiones administrativas. Tomemos, por ejemplo, los estados de los EE. UU., que en su mayor parte son rectángulos que se eligieron de manera muy a menudo arbitraria, en un momento en que no había mucho en estos estados. Vemos un punto cuádruple, común a Arizona, Utah, Nuevo México y Colorado [1].

http://www.voyagerantiquemaps.com {JPEG}

¿Han notado los parisinos la existencia de cuatro puntos cuádruples entre los distritos de París ?

Mire estos puntos cuádruples como ’’inestables’’. Imagine una lucha por la influencia entre los cuatro países limítrofes, alrededor de este punto cuádruple. Lo más probable es que el resultado sea una división del punto cuádruple en dos puntos triples.

JPEG - 18.3 ko

Sea como fuere, estamos acostumbrados a la siguiente imagen : cuando un área se descompone en países (estados, regiones, departamentos, comunas, distritos, etc.), las fronteras son generalmente curvas y bordean a dos países, que se encuentran en puntos particulares que son puntos triples.

Otro ejemplo : cuando una gota de lluvia cae en algún lugar de Europa por ejemplo, seguirá la línea de mayor pendiente, terminará en un valle, en un arroyo, un río y terminará en un mar. Entonces, podemos descomponer a Europa en ’’cuencas de influencia’’ del mar Mediterráneo, el Atlántico, el Mar Negro, etc.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ligne_de_partage_des_eaux {PNG}

Estas cuencas están separadas por ’’líneas divisorias de aguas’’ sobre las que, en principio, una gota de agua ’’duda’’... Un centímetro al sur se adentra en el Mediterráneo y un poco más arriba parte en el Atlántico. Estas líneas divisorias de aguas son de hecho líneas de cúspides de montañas, y generalmente van de una cumbre a otra. En ciertos puntos triples muy particulares, ¡la gota duda entre tres destinos totalmente diferentes ! Es precisamente este aspecto de las cosas lo que interesó a René Thom en su punto más alto : si consideramos un sistema complejo, que puede ser una gota en un paisaje, pero que también puede tratarse de un ser humano frente a su futuro, la mayoría de las ’’posiciones iniciales’’ conducirán a una posición de equilibrio pero, en determinadas circunstancias excepcionales, el futuro ’’vacila’’ entre varias cuencas de atracción. Estas situaciones, en la frontera entre las cuencas de atracción, son las que el científico quisiera comprender. René Thom llamó a estos puntos fronterizos puntos catastróficos, pero esa es otra historia...

Lagos increíbles

Vamos a mostrar un mapa increíble en el que hay cuatro países y para los cuales ¡TODOS los puntos fronterizos son cuádruples ! Dicho de otro modo :

Teorema Hay cuatro países abiertos en el plano que no se encuentran pero todos tienen EL MISMO borde. Cualquier punto en la frontera de cualquiera de estos cuatro países : ¡también está dentro de la frontera de los otros tres !

Eso sí, estos países serán un poco raros y serán el resultado de una larga historia y hasta de una historia infinita… Serán el resultado de largos conflictos en los que cada uno de los cuatro países intenta anexionarse una parte de un pobre quinto... y lo consiguió.

Empecemos desde el principio.

Aquí hay un ’’mapa’’.

PNG

(Para más detalles, haga clic en la imagen).

Vemos :

  • un país negro, que será anexado completamente (o casi) en nuestra construcción ;
  • otros cuatro países : tres países en forma de medio disco, coloreados en tres tonos de azul, y un cuarto que es el exterior del conjunto, en blanco.

Hasta ahora, no hay nada excepcional. Cada uno de los cuatro países de color tiene una frontera con el país negro pero ninguna con los otros países de color.

Cada uno de los cuatro países intentará conquistar el país negro anexionándose territorios.

Aquí está el resultado de la primera campaña de anexión. Cada país de color tiene anexada una lengua que serpentea por el país negro. Los cuatro nuevos países de color todavía tienen fronteras comunes con lo que queda del país negro y todavía no las tienen con los otros países de color.

PNG

(Para más detalles, haga clic en la imagen).

Tenga en cuenta que todos los habitantes de la isla negra se acercaron a los cuatro países de color.

En un segundo asalto, los países de color se anexionan un poco más de negro construyendo largas franjas de tierra en el negro que se apresuran a añadir a su territorio. Por el momento, no explicamos en detalle cuáles son los territorios anexados : volveremos sobre esto más adelante. Esta es la nueva situación :

PNG

(Para más detalles, haga clic en la imagen, luego en [Zoom] en la parte inferior izquierda).

No queda mucho del país negro. Los países de color siguen teniendo fronteras únicamente con el país negro. Pero hay que decir que estas fronteras están peligrosamente cerca : incluso si no hay un punto común entre el país azul oscuro y el país blanco, por ejemplo, puedes pasar del azul al blanco tomando un camino negro muy corto. Los habitantes de la isla negra están aún más cerca de cada uno de los países de color.

Aquí está el resultado después de la tercera campaña de anexión. Casi no ves nada negro. Para verlo hay que hacer zoom. Veámoslo :

PNG

Los cuatro países coloreados tienen anexadas tiras muy delgadas, cuyas fronteras son, en consecuencia, curvas muy largas, que serpentean increíblemente en el plano. El pobre país negro se encoge con cada anexión.

Aquí es donde se necesita algo de imaginación para llegar a la situación después de una infinidad de campañas de anexión.

Considere, por ejemplo, el país azul oscuro. En cada etapa de la construcción su territorio aumenta. Por lo tanto, podemos considerar la frontera : el conjunto de puntos que se colorearán de azul oscuro en un momento determinado de la construcción. Esto se puede hacer para cada uno de los cuatro colores.

Obtenemos así nuestros cuatro lagos de Wada. Estos son cuatro abiertos del plano que no se encuentran entre sí.

¿Qué pasa con el país negro ? Para explicar esto, debemos considerar el país negro como ’’cerrado’’ ; es decir, esta vez le agregamos su frontera. Con cada operación, el país negro disminuye tanto que obtenemos una serie decreciente de países cerrados : esto simplemente significa que cada uno está contenido en el anterior. Podemos considerar la frontera : el conjunto de puntos que quedan negros para siempre, los puntos que nunca serán conquistados por los países de color. Lo cierto es que no está claro a priori que efectivamente existan esos puntos que permanezcan negros para siempre ; ¡pero podemos demostrarlo ! Se debe tener cuidado de que este conjunto negro residual sea muy difícil de ver : no solo no es abierto sino que no contiene ningún disco, por pequeño que sea ; los matemáticos dicen que tiene interior vacío. Pero aún así, él está allí...

Este conjunto residual negro es la frontera común de cada uno de los cuatro lagos.

Incluso si no pretendemos dar una demostración rigurosa de ello, podemos convencernos de ello con bastante facilidad [2]. Tome un punto $p$ en el conjunto residual negro y considere un disco centrado en $p$ tan pequeño como desee. A medida que las serpentinas que cada uno de los países coloreados anexa a su vez se vuelven más delgadas y largas y visitan cada vez más profundamente el país negro, podemos estar seguros que en un momento determinado estas serpentinas entrarán en el pequeño disco alrededor de $p$. De ello se deduce que cualquier disco centrado en el punto $p$ se encuentra con los cuatro lagos. En otras palabras, el conjunto residual es la frontera de cada uno de los lagos.

Tratemos de entender un poco mejor el diseño de estos cuatro lagos y su frontera común. Para ello, vamos a cortar el dibujo por un segmento de recta (por ejemplo vertical, cerca del centro) y vamos a ver qué pasa.

En la primera etapa, nuestro segmento es completamente negro. En la práctica, solo podemos dibujar una tira que tenga un cierto grosor ; y lo dibujamos abajo horizontalmente, con la parte superior derecha, por conveniencia tipográfica.

JPEG

En la segunda etapa, los cuatro colores lanzaron cuatro serpientes para anexarse ​​al negro.

JPEG

Luego, en el siguiente paso, las nuevas serpientes de colores cortan nuevos segmentos (más pequeños) de la parte negra del segmento.

JPEG

Y así sucesivamente. En cada etapa, se alojan intervalos de cada color en lo que queda del negro. Los intervalos de color van ganando terreno y el negro va disminuyendo : aunque el número total de intervalos negros va aumentando, cada vez son más pequeños y cubren una parte decreciente. En definitiva, los puntos pueden tener cinco colores : el negro por un lado y los tres azules y blancos por el otro. La zona residual negra no es un conjunto abierto : su estructura está ligada a un objeto famoso en topología llamado conjunto de Cantor que ya hemos encontrado en ’’Paisajes Matemáticos’’ ; es difícil de ver, pero es la frontera de cada uno de los abiertos.

Un sistema dinámico

Puede que no esté muy claro cómo construimos las serpientes.

A decir verdad, no es muy importante y la mayoría de las descripciones de los lagos de Wada realmente no lo especifican. Véase, por ejemplo, este artículo. En general, presentamos más bien tres lagos de Wada y describimos la cosa así.

Comencemos con un disco verde perforado con dos agujeros.

JPEG

Está pensada como una isla rodeada por el mar con dos lagos hacia el centro. Luego, a partir del primer lago, se construye un canal que aumenta el ’’territorio’’ del lago. No le pedimos mucho a este canal, salvo que recorra buena parte de la isla sin cruzarse consigo mismo. Luego, un canal parte del segundo lago y recorre buena parte de lo que queda de la isla. Luego, un canal parte del mar y hace lo mismo. Luego, comenzamos de nuevo con el primer lago. Cada vez, los canales son necesariamente más finos ya que no pueden encontrarse con lo ya excavado. Podemos asegurar que cuando un lago excava su $n$-ésimo canal, ningún punto verde se encuentra a una distancia superior a $1/n$ del lago en cuestión. El lector habrá entendido que así construimos también los lagos de Wada.

La ventaja de la construcción que hemos descrito es que es dinámica.

Vamos a considerar una transformación $T$ del plano en sí mismo. Cada punto $p$ tiene una imagen $T(p)$ que es otro punto del plano. Estudiar la dinámica de $T$ es estudiar qué sucede si partimos de un punto $p$ y aplicamos sucesivamente la transformación $T$ : ¿qué sucede después de los puntos $p, T(p), T(T( p)), T(T(T(p))), ...$ ? La transformación que vamos a describir es biyectiva lo que significa que para cualquier punto $q$ del plano, existe un único punto $p$ tal que $T(p)=q$.

Volvamos a nuestro país negro, pero dividámoslo en tres áreas como en la imagen.

PNG

La transformación $T$ nos llevará a las tres zonas siguientes :

PNG

Observemos bien, por ejemplo, la franja amarilla. Inicialmente ocupaba la parte superior de la figura pero luego de la transformación se contrajo en un sentido y se dilató en el otro : se convirtió en una fina serpentina que se enrolla de forma bastante compleja. Cada una de las tres zonas coloreadas se contrae y dilata por la transformación. Tómese el tiempo para echar un buen vistazo a la figura...

Y si aplicamos la transformación varias veces, vemos las figuras que ya hemos visto, pero ahora la parte negra se mantiene coloreada para mostrar las imágenes de las tres zonas amarilla, verde y roja :

PNG

JPEG

(Para más detalles, haga clic en la imagen, luego en [Zoom] en la parte inferior izquierda).

La $n$-ésima iteración de $T$ corresponde a lo que llamamos la $n$-ésima anexión. Cuanto más se itera la transformación, más disminuye el país negro ; obtenemos en el límite este conjunto residual negro.

Esto explica (aproximadamente) cómo actúa $T$ en el área negra ; pero ¿cómo actúa en los países de color ? Por ejemplo, veamos el primer país y sus dos primeras imágenes.

JPEG

Debemos imaginar que $T$ transforma el área azul de arriba en la del medio y luego en la de abajo. Vemos un punto en la figura que no se mueve : es un punto fijo de $T$. Podemos hacer que este punto fijo sea repulsivo : los puntos cercanos al punto fijo se alejan de él cuando les aplicamos $T$ sucesivamente. El pequeño país azul crece gradualmente ; aumenta gradualmente su territorio empujando a su ’’población azul’’ más y más a lo largo de franjas cada vez más estrechas y más largas. En este proceso de ’’migración’’, solo queda en pie un punto ubicado en el centro del país (¿la capital ?)

Hacemos lo mismo con los otros dos países.

La situación es un poco diferente para el cuarto país, el de color blanco. En cierto modo, podemos decir que es el punto en el infinito el que está fijo, y que este punto es repulsivo, lo que significa en la práctica que cuando tomamos un punto $p$ muy lejos en el plano, su imagen por $T$ se acerca.

De esta forma, este objeto se llama atractor de Plykin. Se produce mediante una transformación $T$ del plano en sí mismo que tiene las siguientes propiedades. Sea $W$ el conjunto de Wada, es decir, esta parte residual que es el borde común de los cuatro lagos :

  • $T$ tiene tres puntos fijos repulsivos (y un cuarto al infinito) ;
  • $T$ conserva el conjunto $W$ : si $p$ es un punto de $W$, entonces $T(p)$ también está en $W$.
  • $W$ es un ’’atractor’’ : si $p$ es un punto diferente de los puntos fijos repulsivos, y si aplicamos $T$ sucesivamente a partir de $p$, la secuencia de puntos $p, T(p), T(T(p)), T(T(T(p))), ...$, llamada órbita de $p$, se acerca a $W$ hasta el punto de que en una imagen de computadora da la impresión que el punto ha ’’caído’’ en $W$. De hecho, si tomamos un punto inicial aleatorio y dibujamos su órbita en el plano, después de cierto tiempo esta órbita ’’dibuja’’ $W$, y cuanto más tiempo calculemos una órbita, obtendremos una imagen más precisa del atractor.

Para obtener más información sobre los atractores en general, consulte este artículo en Images des Maths.

Revirtamos el tiempo... Recordemos que para cualquier punto $q$ existe un único punto $p$ tal que $T(p)=q$. En lugar de considerar $T$, considere la transformación recíproca $F$. Tenga en cuenta que $F(q)=p$. Aplicar $F$ es volver al pasado de $T$ y viceversa. Los puntos fijos repulsivos de $T$ obviamente son puntos fijos de $F$, pero ahora son atractivos. El conjunto de Wada $W$ es un repulsor. La dinámica de $F$ es la siguiente :

  • Si tomamos un punto inicial $p$ que no está en $W$, su órbita por $F$ convergerá hacia uno de los cuatro puntos fijos (incluido el punto en el infinito) ;
  • Si tomamos un punto inicial en $W$, su órbita permanecerá en $W$ y no se acercará a estos puntos fijos.

El hecho de que $W$ sea la frontera común de los cuatro países coloreados significa que si tomamos un punto inicial en $W$, es posible modificarlo lo menos que queramos para que el nuevo punto sea atraído por cualquiera de los cuatro puntos atractivos. El comportamiento dinámico presenta así una extrema inestabilidad para los puntos cercanos a $W$.

Algunos comentarios

Este ejemplo parece bastante complicado. Sin embargo, no podemos ignorarlo. Supongamos que la transformación $T$ (o $F$) se modifica muy ligeramente en otra transformación $T'$. Entonces podemos mostrar que la nueva transformación $T'$ todavía tendrá cuatro cuencas de atracción de cuatro puntos fijos que tienen la misma frontera. La figura permanecerá cualitativamente igual. Esto significa que nuestro hallazgo no es tan excepcional : la transformación es estructuralmente estable, como dicen los matemáticos. Si un fenómeno es estable, no podemos pasarlo por alto : ¡inevitablemente se presentará ante nuestros ojos ! Esto demuestra que la idea ingenua de que una frontera generalmente separa dos países es demasiado simplista.

Una situación similar ya fue presentada en ’’Paisajes Matemáticos’’ en el artículo dedicado al método de Newton. Si nos proponemos encontrar una solución a una ecuación de tercer grado, partimos de una posición inicial y aplicamos sucesivamente una determinada transformación, descrita en este artículo. Según el caso, la órbita se acercará a una u otra de las tres soluciones de la ecuación, o permanecerá en un ’’conjunto de Julia’’ que forma la frontera entre las tres ’’cuencas de atracción’’. Por lo tanto, ese artículo también nos dan un fenómeno de Wada... Nótese sin embargo que, contrariamente a lo que hemos visto aquí, las cuencas de atracción en el método de Newton no son conexas : están formadas por una multitud de componentes. En nuestro caso, nuestros países de color forman una sola pieza.

Los físicos también han demostrado este fenómeno en situaciones concretas. Por ejemplo, D. Sweet, E. Ott y J.A. Yorke han construido un dispositivo óptico en el que un rayo de luz entra y sale por cuatro salidas posibles, y que tiene la propiedad de Wada : modificando arbitrariamente un poco la dirección de un rayo entrante, se puede hacer que la salida ocurra a través de cualquiera de las puertas de salida [3].

Estos lagos de Wada nos pueden parecer paradójicos porque tenemos otra intuición del concepto de frontera. Sea $p$ un punto frontera de un conjunto abierto $X$ del plano. Decimos que $p$ es ’’accesible’’ si es posible encontrar un camino continuo que parta de un punto de $X$, que termine en el punto $p$ y que, aparte del punto $p$, esté completamente contenido en $X$. En el buen caso, todos los puntos fronterizos son accesibles : si quiero ir a cualquier punto de la frontera franco-alemana, puedo llegar por un camino totalmente francés. Por otro lado, en el caso de los lagos de Wada, muchos puntos del conjunto residual negro, aun siendo puntos fronterizos, no pueden ser la culminación de un camino de un solo color. La siguiente figura muestra un ejemplo sencillo. El conjunto abierto $X$ es el rectángulo azul del que hemos eliminado una sucesión infinita de « paredes » $A_1A'_1, A_2A'_2, ...$ y $B_1B'_1, ...$. La frontera de $X$ se muestra en negro, pero el lado izquierdo del rectángulo está formado por puntos inaccesibles. Así que trata de empezar desde un punto azul y ve al punto $p$ sin encontrarte con las paredes : serás bloqueado por un número infinito de deflectores y te verás obligado a hacer grandes oscilaciones que impidan que tu camino continuo termine en $p$ .

JPEG - 94 ko

Punto fronterizo, punto accesible : he aquí otra situación en la que es necesario definir el significado de las palabras utilizadas si queremos evitar paradojas...

Una nota histórica para terminar. Tales ejemplos fueron descritos en 1917 por Kunizo Yoneyama quien los atribuyó a su maestro Takeo Wada : de ahí el nombre, los lagos de Wada [4]. Takeo Wada aparentemente fue el primer matemático japonés en trabajar en topología [5]. Pero el matemático holandés Brouwer ya había producido ejemplos en 1910 [6]. Por supuesto, un debate de prioridad entre estos dos matemáticos no tendría mucho sentido en Paisajes Matemáticos, pero esta historia ilustra una vez más que cuando los tiempos están maduros, no es raro que un concepto eclosione casi al mismo tiempo a miles de kilómetros de distancia. El comienzo del siglo XX es un período durante el cual los matemáticos buscaron definiciones rigurosas para los conceptos de curvas, dimensión, límite, frontera, etc.

Article original édité par Étienne Ghys

Notes

[1Para obtener más información sobre ’’cuatripuntos’’, consulte este artículo.

[2Para el lector que quiera detalles, que tenga una formación matemática sólida, que lea inglés y que tenga acceso a un erudito, recomendamos leer Topología, por J.G. Hocking y G.S. Young, Addison-Wesley, 1961, en la página 143.

[3D. Sweet, E. Ott y J.A. Yorke, Complex topology in chaotic scattering, a laboratory observation, Nature 399, 315 (1999).

[4K. Yaneyama, Theory of continuous sets of points, Tohoku 12 (1917), véase la página 60 a continuación, donde se cita a Wada.

[6Brouwer, L. E. J. ; Zur Analysis Situs. Math. Ann. 68 (1910), no. 3, 422—434.

Partager cet article

Pour citer cet article :

Andrés Navas, Edgard Araya, Pilar Garcés — «Los lagos de Wada » — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?