Extracto del capítulo 1 : En los albores de la aritmética

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En lo referente a la capacidad de contar, uno encuentra en el reino animal numerosos ejemplos de especies que pueden hacerlo con cierta precisión. Las avispas solitarias, por ejemplo, son capaces de contar el número de orugas vivas que dejan como alimento para sus larvas en las celdas donde han depositado los huevos: siempre exactamente 5, 12 o 24. Entre las especies que pertenecen a la clase Eumenes, nos encontramos con un caso aún más increíble: la avispa sabe si del huevo saldrá un macho o una hembra. No tenemos conocimiento respecto al mecanismo que utiliza para verificar el sexo de su descendencia, ya que ni siquiera las celdas donde ella desova y deposita el alimento presentan alguna señal distintiva aparente. La avispa deja 5 orugas para cada huevo macho y 10 si se trata de una hembra. La razón de esta disparidad es que las avispas hembra son más grandes que los machos.

Las hembras de las avispas solitarias colocan sus huevos en pequeñas celdas en las cuales dejan anticipadamente también orugas anestesiadas de modo que, tras la eclosión, sus larvas puedan alimentarse de ellas. Lo más sorprendente es que esas avispas dejan siempre el mismo número de orugas, y ellas toman en cuenta el sexo futuro del huevo, macho o hembra, lo cual determina el número de ’’víctimas’’ del que dispondrá el descendiente.

Incluso en lo que se relaciona con un concepto más elaborado —como el del número primo— hay un ejemplo curioso: las especies de cigarras denominadas Magicicada septendecim y M. tredecim. Los nombres especiales septendecim y tredecim significan, respectivamente, 17 y 13, y hacen referencia a los ciclos vitales de dos cigarras. Los dos son numeros primos y los zoólogos han elaborado diferentes teorías que explican la elección de un número primo de años para el ciclo de vida de esos insectos.

Tomemos como ejemplo a la Magicicada septendecim. Esta cigarra vive bajo tierra en el estado de ninfa y se alimenta de savia, chupando las raíces de los árboles. Pasa 17 años en este estado y sale luego a la superficie para transformarse en insecto adulto, etapa que dura solamente algunos días, durante los cuales se reproduce y después muere. La teoría que explica tal comportamiento es la siguiente: entre los enemigos de la cigarra adulta hay un parásito cuyo ciclo de vida es de dos años. Si el ciclo de vida de la cigarra fuera un múltiplo de 2, las dos especies terminarían por coincidir cada 2, 4, 8... años. Lo mismo sucedería con los otros múltiplos cualesquiera. Pero si el ciclo de vida fuera un número de años primo bastante grande, como 17 en nuestro caso, entonces el parásito y la cigarra sólo podrían coincidir cada 34 años, ya que 34 es el primer múltiplo de 17. En el caso hipotético de que el ciclo de vida del parásito fuera de 16 años, la probabilidad de encontrarse tendría lugar cada 16 × 17 = 272 años.

Es del todo posible que, con el tiempo, el estudio del comportamiento animal dé más ejemplos de especies que ’’saben contar’’. Semejantes razonamientos pueden parecer banales, pero lo más importante de este hecho es que —pese a que los objetos matemáticos, como los números primos, sean una creación matemática—, el explorador pueda vivirlos y sentirlos como si ellos tuvieran una existencia propia.

La criba de Erastótenes


La búsqueda de números primos ha constituído siempre un tema espinudo. Uno de los primeros métodos conocidos es atribuido a Erastótenes de Cirene (273-194 AC), matemático, astrónomo y geógrafo griego, que fue director de la Biblioteca de Alejandría. Este método es conocido con el nombre de ’’criba de Erastótenes’’. Vamos a ver cómo se aplica a los cien primeros números naturales.


En primer lugar, hay que construir una tabla con todos los números naturales, digamos entre 1 y 100. Se comienza luego a eliminar todos aquellos que son múltiplos de dos: 4, 6, 8, 10... ; luego los que son múltiplos de tres: 6 (ya eliminado), 9, 12, 15... ; y después los múltiplos de cinco y de siete.

Los números no eliminados son todos primos.
Se observa que la criba termina cuando se llega al número 10, es decir, la raíz cuadrada de 100. En general, para encontrar todos los números primos inferiores a un número $N$ dado, basta con realizar la criba para todos los números inferiores o iguales a $\sqrt{N}$ . Se trata de un método para encontrar los números primos inferiores a otro número dado. Este método todavía se usa actualmente —más de dos mil años después de su creación— para encontrar números primos pequeños, inferiores a diez mil millones.

LAS DIMENSIONES DE LA TIERRA


El nombre de Erastótenes está vinculado a la criba de los números primos, que por cierto lleva su nombre. Sin embargo, esos no son sus trabajos más importantes. De hecho, Erastótenes entró a la historia de la ciencia por haber sido el primero en calcular las dimensiones de la Tierra. Con los métodos disponibles en el siglo III DC, él calculó la circunferencia polar con un margen de error inferior a 1 %.

Planisferio que muestra el mundo conocido según Eratóstenes. El sabio griego fue el primero en utilizar una división en paralelos regulares, mientras los meridianos eran separados de manera irregular.




¿Cuántos números primos hay?


Si queremos comenzar a reflexionar sobre la naturaleza de los números primos para buscar una relación entre ellos o una regla cualquiera que nos permita predecir en qué momento aparecerá el siguiente, tenemos primero que disponer de una lista de esos números. La tabla siguiente, obtenida a partir de la criba de Erastótenes, muestra los números primos comprendidos entre los mil primeros números naturales.

Un examen preliminar nos permite comprobar que los números primos son completamente imprevisibles. Hay, por ejemplo, más números primos entre 1 y 100 que entre 101 y 200. Entre los números 1 y 1000 hay 168 números primos. Podemos pensar que si nuestra tabla fuera bastante más grande incluso, veríamos cómo la cantidad de números primos aumenta a medida que avanzamos de mil en mil unidades. Pero no. Hay actualmente tablas inmensamente grandes y se sabe que, por ejemplo, entre las mil unidades que van de $10^{100}$ a $10^{100} + 1 000$ hay solamente dos números primos. ¡Y se trata de números de más de cien cifras!
Está claro que, para poder encontrar una regla, lo mejor sería disponer de una tabla con todos los números primos. ¿Todos? ¿Y si fueran numerosos? Poco importa: con los medios que disponemos actualmente es posible someterlos a todos los tipos de cribas y pruebas que permitan encontrar la regla. 
Ya que cuando se trata de conjuntos finitos —por grandes que sean— siempre es posible encontrar una regla, o al menos inventar una que corresponda. En consecuencia, es muy importante saber si existe una infinidad de números primos. Esta pregunta fue planteada también por Euclides. Su manera de responderla es tan ingeniosa y matemáticamente intuitiva que vale la pena estudiarla en detalle.

Partamos por una pequeña lista de números primos consecutivos, por ejemplo \[2,3,5.\]
Ahora, hagamos el producto de esos números entre ellos:
\[2 × 3 × 5 = 30.\]
Agreguemos una unidad al resultado:

\[2 × 3 × 5 + 1 = 30 + 1 = 31.\]

Es claro que la división de 31 por cualquiera de los tres números primos de la lista inicial 2, 3, 5 tendrá como resto 1:
\[31/2 = 15\; \text{resto}\; 1: 2 × 15 + 1 = 31; \]
\[31/3 = 10 \;\text{resto}\; 1: 3 × 10 + 1 = 31;\]
\[31/5=6\; \text{resto}\; 1: 5×6+1=31.\]

Lo anterior garantiza que no es divisible por ninguno de ellos. Esto ocurre todo el tiempo: si partimos de una lista de números primos consecutivos, cuando los multiplicamos entre ellos y agregamos una unidad al resultado, el número obtenido no es divisible por ninguno de los de la lista. Ese pequeño detalle a priori muy simple, es el núcleo mismo de la demostración de Euclides.

El número 31 es un número primo que no se encuentra en la lista inicial. En efecto, no estaba completa. Tomemos por ejemplo la siguiente lista:

\[{2, 3, 5, 7, 11, 13.}\]

Hagamos el producto de todos los números entre ellos y agreguemos una unidad:
\[2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30030 + 1 = 30031.\]

Este último no es un número primo, ya que puede expresarse como el producto de dos números: 
\[30031 = 59 × 509.\]

Euclides ya había demostrado que todo número natural podía descomponerse de manera única como un producto de factores primos. Si aplicamos ese resultado al número 30031, que es un número compuesto, está claro que con los números primos de la lista ${2, 3, 5, 7}$ no tenemos lo que necesitamos para efectuar la descomposición en factores. Por lo tanto, no está en esta lista de números primos.


La conclusión es la siguiente: por larga que sea la lista inicial de números primos, al efectuar la operación de multiplicación entre ellos y la adición de una unidad, el resultado es un nuevo número que corresponde a una de las dos siguientes situaciones:

• 1) Se trata de un número primo que no estaba en la lista.
• 2) Se trata de un número compuesto y en su descomposición figuran números primos que no estaban en la lista.

De manera que la lista —a menos que sea infinita— siempre está incompleta.
 Desafortunadamente, este no es un método para obtener números primos, pese a que constituye un punto de partida muy importante, ya que delimita una dimensión del problema y una perspectiva sin la cual sería imposible proyectar la menor estrategia. Podríamos pensar que no es tan importante demostrar que existe una infinidad de números primos, ya que es un dato intuitivo. Pero hay que mantenerse muy prudentes con los números primos: son tan ’’extraños’’ que ¡bien podría llegar un momento donde ellos desaparecieran! El teorema de Euclides nos garantiza sin embargo que eso no ocurrirá.

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Sommaire du livre

Para profundizar más

• Números primos, ahora y siempre ( piste verte).

• Problème « simple » cherche solution depuis 250 ans (actualité).

• La conjetura de Goldbach ppara los números impares (actualité).

• Progressions polynomiales dans l’ensemble des nombres premiers (piste noire).

• Idéalisme radicale (piste noire).

• Historias de números primos (piste noire).