Mi material de geometría : regla, compás (uf, qué banal), pelota, boya, una silla de montar (solamente dos universidades en Francia tienen un centro ecuestre : la Universidad Paris-Sud es una de ellas, ¿cuál es la otra ?). Asombro en la sala. Tranquilícense, habrá fórmulas en la exposición, especialmente aquella, con Massot mostrando una fórmula perfectamente esotérica que llena una diapositiva entera.

1. Triángulos

Voy a visitar a mi colega Dusa McDuff en Nueva York, una matemática muy fuerte (levanta los pizarrones con un sólo brazo, sin esfuerzo). Tomo el avión. La ruta que va a seguir la nave es fácil de adivinar sobre un mapamundi. Es un arco de gran círculo. Sobre el planisferio, eso da una trayectoria curva. Se ve en la pequeña pantalla de video del avión. Uno vive en la superficie de una esfera y no en un plano, eso se siente.

El avión ¿vuela en línea recta ? ¿Qué quiere decir eso ? Rollo de scotch, pongo la cinta de scotch sobre la pelota (necesito un asistente para esto) y sigue un gran círculo. Es decir, sí : el avión vuela recto. Pensemos en su trayectoria como en un segmento trazado sobre la pelota. Le pongo 3 para formar un triángulo (necesito otros dos asistentes para esto).

¿Cuánto es la suma de los ángulos de un triángulo ? La sala responde unánimente 180°. ¿Están seguros ? ¿Y ese triángulo ahí, sobre la pelota ? Los ángulos parecen ser rectos. 90°+90°+90°=270°. Eso no cuadra. ¿Es igual para todos los triángulos ?

Mis colegas Mohammed Abouzaid (Nueva York), Kathrin Wehrheim (Boston) y Iosif Polterovich (Montreal) forman un triángulo cuya suma de ángulos hace casi 180°. Es porque el triángulo es mucho más pequeño.

Yo me siento sobre la pelota. Se aplasta. Bajo mis glúteos, está casi plana. Se puede pensar que la geometría ahí es como en el plano, pero en el lugar donde se curva mucho debe ser diferente. Me gustaría medir esta diferencia, esta desviación respecto de la geometría euclidiana.

2. Perímetros

¿Cuánto es el perímetro de un círculo de radio $r$ ? Es $2\pi \,r$, responde unánimemente la sala.

Aquí hay 2 discos para pegar sobre la pelota y sobre la silla de montar. Necesito 4 asistentes (dos manos le levantan frenéticamente). Traten de no hacerles pliegues. Se arruga. Y ahí ¿no queda pegado del todo ? entonces voy a recortar un poco el disco. ¡Quietos ! ¿Qué ven ? Sobre la pelota, los asistentes tuvieron que hacer pliegues. El disco parece ser muy grande. Sobre la silla de montar tuve que cortarlo, ya que el disco era muy pequeño. Vuelvan a sus asientos y no se lleven el control remoto.

Me gustaría medir la desviación alrededor de un punto. Aquí hay una tabla de valores numéricos. La pelota tiene 25cm de radio. Los radios del disco, 12,5cm, 7,5cm, 2,5cm, 0,25cm,. Medí el perímetro de la pelota y la comparo con el perímetro de un disco del mismo radio en el plano.
Mientras más pequeño el círculo, más pequeño el error. Estoy decepcionado. Para ver que algo se despeja se necesita un microscopio : hay que comparar la diferencia en el área del disco, dividir la diferencia por el área multiplicada por el radio. Le agrego una columna a mi tablero donde coloco, por cada radio de disco,

3 (perímetro sobre el plano - perímetro sobre la pelota) / (área del disco)(radio del disco)

Para un radio de 0,25cm, encuentro 0.0016. Es el número que uno llama la curvatura, notada $K$. Para una esfera de radio $R$, es $\frac{1}{R^2}$. Cuando $R=$25cm, eso hace 0.0016.

La fórmula misteriosa es, en notaciones más concisas,

\[\int \int K\, dA = 2\pi (S-A+F).\]

Esto se llama el Teorema de Gauss-Bonnet.

Veamos la boya : los círculos ¿son más cortos o más largos que $2\pi \,r$ ? La sala duda, murmura. ¿Eso depende de dónde ? Yo puedo sentarme en la boya, hay una especie de silla de montar (Massot obedece, sin caerse), por allá los círculos deben ser más cortos. Pero si coloco la boya en el suelo, ahí donde lo toca, los círculos deben ser más cortos. Según ustedes ¿hay más puntos donde los círculos son más largos, o donde son más cortos ? ¿Hay curvatura negativa o curvatura positiva ? Trajín en la sala, opiniones manifiestamente divergentes. Pasamos a la votación. Pocas personas se atreven a expresarse. Bueno, hay algunos votos a favor, algunos votos en contra. Va a haber que resolver.

En favor de la pelota, la cantidad total de curvatura $K \times$ área es independiente del radio. El teorema de Gauss-Bonnet dice que la cantidad total de curvatura no cambia incluso si se deforma la pelota. Y en favor de la boya : la cantidad total de curvatura vale 0, tanto de + como de -. Por lo tanto todos aquellos que votaron tenían razón.

Para la boya romántica de 2 plazas, la cantidad total de curvatura $K \times$ área vale $-4\pi$. Para la boya familiar con $g$ plazas (este tipo de boyas se vende por Internet), es $2\pi(2-2g)$.

3. Poliedros

Descartes 1620 : él será un actor principal de sus cursos de matemáticas, física y filosofía en el liceo. En 1620, Descartes encuentra un bonito teorema sobre los poliedros, pero no lo publica, ni en un libro ni en su blog.

En 1650, él coge frío en Suecia y muere. Sus papeles son colocados en un baúl, lo envían a Francia, se cae al río Sena, pero lo rescatan y el contenido está depositado en los sótanos del Instituto.

En 1675, Leibniz va a París, encuentra el texto de Descartes, lo copia a mano, pero no lo publica. Muere en 1716. Es por sus papeles, conservados, que se tiene conocimiento del teorema de Descartes.

En 1848, Pierre-Ossian Bonnet publica el teorema de Gauss-Bonnet. Se va a ver que hay un nexo con el teorema de Descartes.

Un poliedro, aquí hay uno, una caja de cartón. Trazo un pequeño círculo de radio $r$ sobre el poliedro. El centro está en el medio de una cara. ¿Cuál es el perímetro ? Necesito un asistente (se levantan las manos), tomo el compás, yo afirmo la punta, tú trazas. Respuesta : $2\pi \,r$. El centro está en el medio de una arista ¿cuál es el perímetro ? Necesito otro asistente (todo el anfiteatro se agita). Lo mismo, $2\pi \,r$. El centro ¿está en un vértice ? Me falta todavía un asistente más (un motín alrededor mío). Se encuentra $3/4 \times 2\pi \,r$. Público atónito, rumor. La fórmula general es

\[\frac{2\pi}{360°} \times \text{(suma de los ángulos)} \times r. \]

Descartes decide que la curvatura de un vértice vale

\[2\pi - \frac{2\pi}{360°}\times \text{(suma de los ángulos)},\]

de manera que la curvatura da la desviación entre el perímetro de los círculos sobre el poliedro y en el plano. En la caja con forma de paralelepípedo cada vértice tiene la misma curvatura $\pi/2$.

Descartes asegura que si se puede inflar un poliedro para obtener una esfera, entonces la suma de las curvaturas vale $4\pi$. Si el poliedro se infla como boya con $g$ plazas, la suma de las curvaturas vale $2\pi(2-2g)$. Dicho de otro modo, la fórmula de Descartes es la forma desinflada de la fórmula de Gauss-Bonnet.

¿Por qué es verdadera la fórmula de Descartes ? La suma de los ángulos de un polígono plano con $n$ lados vale $(n-2) \times 180^0$. En el pizarrón : basta con recortar el polígono en triángulos. No parece nada, pero ese teorema es muy sorprendente. El de Descartes es una versión reforzada en la EPO (Oficina Europea de Patentes) de la suma de los ángulos de un triángulo.

Contando cuidadosamente, se adiciona los ángulos de las caras y se encuentra que la suma de las curvaturas vale $2\pi (S-A+F)$, donde $S$ es el número de vértices, $A$ el número de aristas y $F$ el número de caras. El hecho de que $S-A+F$ sea 2 para todo poliedro que se infla como una esfera es atribuído a Leonhard Euler. Una palabra acerca de la prueba. Partamos de una muralla que rodea una ciudad medieval : el número de muros es siempre igual al número de vueltas. En efecto, añadir una vuelta no cambia la diferencia ’número de muros - número de vueltas’. Verifique la fórmula de Euler sobre una pelota de fútbol. Sobre un poliedro con forma de boya. Verifique que agregar aristas y vértices no cambia $S-A+F$. Está en sus manos, es un desafío.

4. ¿La curvatura nula ?

Sobre la boya hay tanto de + como de -. ¿Se puede deformar la boya para que la curvatura sea nula en todas partes ? Votación. Opiniones divididas. Les explico que no se puede, después a continuación, les explicaré que se puede.

Siempre hay a lo menos un punto donde la curvatura es positiva. En efecto, yo coloco la boya deformada en una gran burbuja de jabón que se achica hasta tocarla y tomo una foto (ya que la burbuja se revienta). Los pequeños círculos de la boya están adentro, son más cortos que los de la burbuja, por lo tanto más cortos que los círculos euclidianos. Entonces la curvatura es positiva. Si usted votó no, tiene razón.

En 1954, John Nash vio que si uno arruga la boya puede obtener la curvatura nula en todas partes. Se volvió loco a continuación, se repuso un poco después, pero las matemáticas se acabaron para él. En 1970, Gromov, más listo que los anteriores profesores visitantes, adapta la idea de Nash y resuelve muchos problemas inesperados, pero las personas comprenden mal todo eso. En 2007, Vincent Borelli comprende suficientemente a Gromov y se convence de que se debe poder dibujar la burbuja arrugada de Nash. En 2008, recluta a 4 informáticos y numéricos y luego de 4 años de trabajo obstinado, en 2012 producen el dibujo que está aquí. Se ven olas, con olas pequeñas encima. Al acercar la imagen y en todas las escalas, está el mismo motivo. Aquí tienen una animación (sobrecogedora). Por lo tanto, aquellos que votaron sí, también tienen razón. Cuando hay muchas olas pequeñas, el razonamiento que hice hace un momento no aguanta.

En conclusión, aunque la historia de la curvatura es antigua, vive aún de manera sensacional hoy en día.

5. Preguntas

Pregunta : Si uno continuara haciendo zoom a la imagen, ¿vería siempre olas ?
No, la imagen que les mostré comprende solo un número limitado de pixeles. Pero el objeto teórico lleva una infinidad de etapas.

Pregunta : ¿Se puede comprender el principio del dibujo de Borelli ?
Un estudiante, 4 años después de egresar del colegio, podría. Pero no en el caso de los trabajos de Nash y Gromov.

Pregunta : La tabla de valores numéricos, ¿de dónde sale ?
Hice trampa. No hice las mediciones sino que utilicé una fórmula que da el perímetro de los discos sobre una pelota.

Pregunta : Señor, ¿puede mostrar la fórmula de nuevo ? Quiero copiarla.

6. Dedicatoria

Vimos pasar los mapas y a los muchachos, pero ¿dónde están los gorros ? Durante el fin de semana del congreso Matemáticas en Jeans, las noches estaban frías en Orsay. ¡No te desabrigues !