Matemáticas y bicicletas

Pista verde El 4 enero 2012  - Escrito por  Andrea Baciotti
El 26 julio 2020  - Traducido por  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Artículo original : Mathématiques et bicyclettes Ver los comentarios
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Este artículo fue publicado en la revista en línea Xlatangente bajo el título original ’’Che cosa c’entra la matematica con la bicyclette?’’. Fue traducido al francés para Images des Maths por Paolo Bellingeri a quien agradecemos cálidamente.

Habituados -como estamos ahora- a manejar portátiles, computadores, GPS, lectores de CD, DVD, MP3 y tal vez tantas otras diabluras tecnológicas, una bicicleta puede parecernos -desde el punto de vista tecnológico- un objeto muy rudimentario y anticuado. Sin embargo, han pasado apenas más de 100 años desde la aparición de las bicicletas. Hacia 1880 se producía y comercializaba todavía velocípedos como los que hoy se ven solo en películas de la época y en museos: desprovistos de cadena y con la rueda delantera bastante más grande que la trasera. Esos vehículos eran más bien peligrosos: la silla donde el ciclista debía sentarse estaba en efecto ubicada en alto y desplazada hacia adelante. Un caída banal podía por lo tanto tener serias consecuencias. Al cabo de algunos años, los constructores habían solucionado ya el problema: la bicicleta había llegado a ser más segura gracias a algunas mejoras estructurales que se han mantenido sustancialmente sin cambio hasta nuestros días.

 

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«Canguro» 1880, Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia "Leonardo da Vinci”, Milan Italie. 

Sobre todo, la bicicleta pasó a ser más estable en movimiento. ’’Estable’’ se refiere a la capacidad de un dispositivo para mantener una cierta configuración, incluso bajo el efecto de pequeñas perturbaciones. Por ejemplo, la misma bicicleta, detenida y en posición vertical, es inestable: en efecto, basta una minúscula desviación de la posición del baricentro para hacerla caer. ¿Por qué, al revés, es tan fácil mantener el equilibrio cuando la bicicleta viaja a una velocidad suficientemente alta, al punto que casi todos son capaces de rodar incluso ’’sin manos’’? Para responder a esta pregunta fue instituido un premio académico a fines del siglo XIX. Desde entonces, numerosos especialistas (ingenieros, físicos y matemáticos) se interesaron en el problema: sin embargo, hasta ahora no ha sido hallada una respuesta completa y enteramente satisfactoria.

El principal responsable de la estabilidad de una bicicleta en movimiento parece ser la fuerza centrífuga, es decir, la fuerza que sentimos cuando, de pie en un autobús, el chofer efectúa un viraje brusco, digamos a la izquierda: si uno no se sujeta, es lanzado contra el lado derecho del vehículo.
Supongamos que el ciclista en movimiento se da cuenta que la bicicleta comienza a perder el equilibrio hacia la izquierda; él remediará ese problema girando el manubrio hacia la izquierda. Como el viraje aminora, la fuerza centrífuga empuja el baricentro de la bicicleta hacia la derecha, lo que permite entonces a la bicicleta acercarse a la posición de equilibrio. Eso puede parecer sorprendente, pero la bicicleta es capaz de cumplir esta maniobra por sí sola, incluso sin intervención del ciclista.

En efecto, cuando la bicicleta se inclina hacia un lado, entran en juego fuerzas de naturaleza diferente que tienden a hacerla girar del lado hacia el cual está inclinándose. La más conocida de esas fuerzas es el efecto giroscópico. En realidad, el efecto giroscópico es sensible en las motocicletas, que tienen ruedas más pesadas y alcanzan velocidades más elevadas, pero es despreciable en el caso de las bicicletas, como se ha demostrado experimentalmente. La fuerza más importante que contribuye a la estabilidad de la bicicleta se debe, probablemente, a la estructura del tren delantero, y en especial a la inclinación del eje de la horquilla y a la distancia, medida hasta el suelo, entre el centro de la rueda delantera y el punto que se obtiene imaginando que se prolonga el eje de la horquilla hasta el suelo.

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Bicyclette à cadre, 1885 Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia "Leonardo da Vinci”, Milan, Italie.

La existencia de tal fuerza puede ser observada también cuando una bicicleta está detenida: si uno inclina la bicicleta lentamente hacia un lado, se percibe en un momento que la rueda delantera girará por su cuenta hacia el mismo lado. La maniobra de estabilización de la bicicleta en movimiento es completada por la fricción del neumático delantero que, arrastrándose por el suelo, genera una fuerza contraria que hace realinearse la rueda con el chasis.

Para comprender y analizar estos fenómenos, ya sea del punto de vista cualitativo como del punto de vista cuantitativo, es necesario elaborar modelos matemáticos apropiados (y, por supuesto, tener un conocimiento profundo de la física del problema). Busquemos comprender en qué consiste este problema de modelización.

Imaginemos un cuerpo con masa, sujeto a la acción de la fuerza de gravedad. Si no encuentra obstáculos, el cuerpo se mueve describiendo una trayectoria: la posición $P$ que ocupa en el espacio cambia, y por lo tanto puede interpretarse como una función del tiempo: $P = P(t)$. Las leyes fundamentales de la mecánica permiten describir relaciones entre $P(t)$ y las funciones que representan la velocidad y la aceleración del cuerpo. Esas otras funciones son, respectivamente, las derivadas primera y segunda de $P(t)$. Por esta razón, las fórmulas que hacen intervenir la posición, la velocidad y la aceleración, y en las cuales $P(t)$ aparece como incógnita, se llaman ecuaciones diferenciales.

Un ejemplo muy simple está dado por un péndulo compuesto por una varilla vertical que puede oscilar alrededor de un eje de rotación horizontal: un extremo de la varilla está fijo y representa el pivote del sistema, mientras que la masa está concentrada en el otro extremo. Cuando la varilla está en posición vertical con el pivote en alto y la masa abajo, dando un pequeño golpe observaremos oscilaciones persistentes de pequeña amplitud: en esta posición, el péndulo tiene un equilibrio estable. La ecuación del movimiento toma la forma
\[P '' + kP = 0, \] donde ahora $P$ representa el ángulo en cada instante con la vertical, $P''$ indica la aceleración, es decir, la derivada segunda de $P$, y $k$ es una constante positiva que depende de la longitud de la varilla y de la intensidad del campo gravitacional. Una bicicleta detenida, mantenida en posición vertical puede ser vista, simplificando, como un péndulo invertido, es decir, posicionado de manera que el extremo con la masa se encuentra en alto y el pivote abajo. En ese caso, la ecuación se convierte en \[P '' - kP=0.\]

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Prototype de tricycle de Giovanni Ropolo

El cambio de signo provoca un cambio radical desde el punto de vista de la estabilidad: en efecto, basta ahora una pequeña perturbación para comprometer irremediablemente el equilibrio de la bicicleta.
Cuando la bicicleta está en movimiento, basta con introducir nuevas variables para describir la dinámica del movimiento, y las ecuaciones diferenciales se vuelven más complicadas. Sin embargo, es posible mostrar que si la velocidad es bastante alta, el equilibrio se mantiene de manera estable. El estudio de esas ecuaciones provee informaciones que pueden ser útiles, en fase de proyecto, para mejorar los desempeños y las características técnicas del vehículo.

Hoy en día, tanto en el campo académico como en el industrial, uno se interesa en la experimentación de vehículos con tres ruedas: los triciclos.
Uno de los principales problemas reside en el hecho de que un triciclo, al tener tres puntos de apoyo en el suelo, a diferencia de la bicicleta, es estable en posición de descanso, pero no puede inclinarse en un viraje y por lo tanto no puede contrapesar el efecto de la fuerza centrífuga. Al enfrentar un viraje a muy alta velocidad se puede correr serios riesgos... Para que un triciclo se incline en un viraje es necesario recurrir a mejoras tecnológicas demasiado sofisticadas y avanzadas. En ese caso la modelización matemática también puede sernos de gran ayuda.

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Para citar este artículo:

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Matemáticas y bicicletas» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Créditos de las imágenes:

Prototype de tricycle de Giovanni Ropolo - http://www.xlatangente.it/xlatangente/articleById.do?id=239
Bicyclette à cadre, 1885 Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia "Leonardo da Vinci”, Milan, Italie. - Canguro 1880 Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia "Leonardo da Vinci” , Milan, Italie. 
«Canguro» 1880, Museo Nazionale della Scienza e della Tecnologia "Leonardo da Vinci”, Milan Italie.  - http://www.xlatangente.it/xlatangente/articleById.do?id=239

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