Nota : este artículo data originalmente de 2015. Hoy Bourbaki tiene casi 90 años...

Hace alrededor de dos años me pidieron un artículo acerca de Bourbaki : una publicación mensual quería dedicar uno de sus números a las matemáticas. Escribí el artículo, lo envié, el proyecto no se concretó, y me olvidé del artículo hasta hace algunas semanas, cuando uno de mis amigos -no matemático, pero culto- un « buen hombre » como ya no hay más, me preguntó :

Pero, ¿y Bourbaki, hoy en día ?

Al responderle me acordé de ese artículo, lo saqué y se lo envié.

Es exactamente lo que quería saber, me dijo.

Entonces hice leer el artículo a un... bueno, a un colaborador de Bourbaki [1] y luego se lo propuse a Images des mathématiques, y aquí está.

Álgebra Capítulo 8

¿Por qué hablar de Bourbaki ? me preguntaba a fines de 2012. Porque acababa de aparecer un libro bajo ese nombre y con el título ’’Álgebra Capítulo 8’’. No es exactamente una publicación, ya que ’’Algèbre chapitre 8’’ (mismo título, mismo autor) ya había sido publicado en 1958. Es más bien una nueva edición. Pero está ’’enteramente revisada’’, como dice en la contraportada. No es seguro que los lectores deseen conocer el detalle de esta revisión. Me conformaré con una lista : 489 páginas en lugar de 189 (trescientas páginas más, por lo tanto un gran trabajo de redacción), 21 ’’números’’ en vez de 13, 4 apéndices en lugar de 1 solo, equivalencia de Morita y grupos de Grothendieck entre los agregados al menú.

Nicolas Bourbaki tiene ochenta años

Bourbaki es una asociación de matemáticos fundada en 1935. Había entonces algo nuevo por parte de Bourbaki, 80 años después.

Nacimiento. Una reunión de algunos amigos matemáticos, llamado ’’Congreso Fundador’’, del 10 al 20 de julio de 1935, en Besse-en-Chandesse, cerca de Clermont-Ferrand, centro sur de Francia [2], puso en marcha la escritura en común de un « tratado de análisis » (matemático), que al parecer fue publicado (a partir de 1940) en fascículos, bajo el título general de ’’Elementos de matemática’’ (se trata de la matemática, ya volveremos a eso) y bajo el nombre de Bourbaki como autor.

Folklore. Un autor dotado de un gran sentido de la puesta en escena : al mismo tiempo que los fascículos se publicaban y que el estilo de Bourbaki se imponía, el folklore del autor anónimo y policéfalo, con sus bromas de estudiantes (perdón, sus inocentadas de normalistas) [3] se volvía popular entre los matemáticos.

Son raros los autores que publicaron durante 77 años. En el caso de Bourbaki, hay una pequeña trampa : el autor no es un ser humano, sino un grupo [4] y que muchas generaciones fueron sucediéndose desde 1935.

Esta fotografía fue tomada para el tercer aniversario de Bourbaki, en septiembre de 1938, en Dieulefit. Se ve, de izquierda a derecha a la filósofa Simone Weil, a los matemáticos Charles Pisot (la frente es de André Weil), Jean Dieudonné, Claude Chabauty, Charles Ehresmann y Jean Delsarte. Claramente falta Henri Cartan en esta foto. ¿Tal vez porque él es quien la tomó ?

Sobre el rigor, el estilo, el poder

Hay un estilo Bourbaki y se impone mencionarlo aquí. Un estilo inventado primero como reacción. Los manuales de matemáticas disponibles a principios de los años 1930 habían sido escritos por hombres del siglo XIX (podría alegarse la carnicería de 1914-1918) y la atención dada a las fundaciones (a los fundamentos) no era muy grande. Se podía enunciar y demostrar un teorema, y luego en la misma página, añadir un comentario diciendo : ’’este teorema no siempre es verdadero’’ [5]. Hoy en día esto es impensable (lo comprobé con mis estudiantes universitarios). Un teorema está formado por hipótesis y una conclusión ; una demostración permite deducir la última de las primeras, de manera que un teorema que se ha demostrado es (¡siempre !) verdadero (o si no hay un error en la demostración, pero en ese caso no se lo escribe en un libro). Si ni siquiera nuestros estudiantes aceptan ya ese tipo de redacción, es porque la exigencia de rigor se incrementó entre los matemáticos en el transcurso del siglo XX. Los libros de Bourbaki contribuyeron enormemente a este cambio.

Abramos aquí un paréntesis. Diferentes movimientos intelectuales se constituyeron en la misma época que Bourbaki, justo antes o después de la guerra de 1914-1918 : el cubismo [6] y el surrealismo, por ejemplo. Estos marcaron el verdadero inicio del siglo XX. Las matemáticas, actividad humana como lo son la pintura y la literatura, participaron también mediante Bourbaki en este rebrote cultural.

El rigor, la necesidad de escribir demostraciones un tanto formalizadas, se acompañaron en Bourbaki de un estilo bastante uniforme, debido al mecanismo de redacción de la escritura colectiva, aunque guarde aquí o allá la huella de tal o cual redactor. Un estilo sobrio, a veces incluso sin cuerpo, donde nada sobresale, con pocos ejemplos y raramente una motivación.

El placer. Un estilo que Bourbaki cultivó con preciosismo y deleite. Basta leer la correspondencia intercambiada entre aquellos dos miembros fundadores que fueron André Weil y Henri Cartan [7], para notar por aquí o por allá el placer de hacer un comentario ’’extremadamente bourbaquiano’’. Ese placer de los redactores se acompaña, a su vez, de placer para los lectores. Entre muchos de los fascículos muy exitosos, me acuerdo en especial de la iluminación y la alegría que me causó cuando yo era estudiante, la lectura de ’’Topología Capítulo 9’’ y de ’’Álgebra Capítulo 8’’.

El rigor, el poder... Uno no puede sino alegrarse de que la exigencia de rigor haya tenido repercusiones didácticas y que la enseñanza de las matemáticas se haya vuelto más rigurosa. Que pueda recordar de nuevo esta vez (a contracorriente de las ideas recibidas acerca de este período) el encanto que fue para mí, liceana, descubrir la belleza formal, estructural, de ese mundo de las matemáticas...

Poder institucional. Es cierto también que se cometieron abusos en nombre de este rigor. Desgraciadamente coincidieron en el tiempo (inicio de los años 1970) con el gran poder institucional que había adquirido Bourbaki en la comunidad matemática francesa. Un poder oculto : quién es miembro de Bourbaki es, en principio, un secreto (lo que alguna vez apasionó a un medio que no detesta los chismes). Uno puede preguntarse cómo un grupo con vocación para escribir los ’’Elementos de matemática’’ puede adquirir un potencia institucional. Sin hablar de los cargos de poder ocupados por sus miembros, hay que mencionar aquí la segunda cuerda del arco de Bourbaki : su Seminario. Durante decenios, éste se ha reunido tres fines de semana al año, y ahí se ha escuchado charlas acerca de avances recientes de la matemática. Era un prestigioso seminario [8]. Ser invitado para dar una charla ahí era un honor. A menudo fue un pequeño empujón para la carrera de un joven matemático. No es exagerado decir que ahí uno se sometía a un examen, y ocurría que el veredicto era dado por tal o cual miembro conocido y reconocido que abría su diario en medio de la charla (la elegancia de la escritura no siempre se acompaña por una elegancia de los modales).

Bourbaki muerto o vivo

La muerte de Bourbaki también forma parte de su folklore : una esquela de defunción imaginada por Jacques Roubaud (fuera de Bourbaki) en 1968, en el mismo momento en que moría Jean Delsarte (primer deceso de un miembro fundador de Bourbaki), y luego la muerte propuesta y anunciada por Pierre Cartier (dentro de Bourbaki) en los años 1980.

Aquí serían discutibles muchos asuntos, de los cuales abordaré sólo algunos.

André Weil (1906-1998)

La unidad de las matemáticas, en primer lugar, aparente bajo ’’la’’ matemática del título de los Elementos. André Weil, y con él sus amigos de Bourbaki, tenían el deseo de conocer y comprender, o al menos tener una idea del conjunto de la matemática. La evolución de la disciplina hizo que esto se volviera imposible, incluso para mentes brillantes y rápidas. Ellos eran matemáticos ’’puros’’. El álgebra, la topología y, en su intersección, la geometría algebraica y la topología algebraica, eran sus disciplinas predilectas. Una distorsión de sus deseos hizo que aquello que comprendían mejor se convirtiera, y eso ocurrió de nuevo en los años 1970, en ’’la elección bourbaquiana’’ [9], una especie de cuadro de honor de las disciplinas matemáticas, en las cuales por supuesto la geometría y la topología algebraicas ocupaban los primeros lugares. La matemática hoy en día ha estallado (¿implosado ?) y sus subdisciplinas tienen de ahora en adelante culturas bien diferentes que hacen más bien infructuosa la ambición de conocerlo todo.

El modo de funcionamiento. Uno o dos miembros estaban encargados de un informe acerca de un tema dado, se leía ese informe en sesión plenaria, se discutía y se lo demolía, otros (o los mismos) escribían uno nuevo, y así sucesivamente hasta que finalmente una décima (o más) versión era consensuada. Esto consumía un tiempo enorme. Las condiciones de trabajo de los matemáticos se modificaron profundamente desde los años 1930 (e incluso desde los años 1970). La evaluación a ultranza hace que ahí donde antaño ’’se trabajaba sobre un problema’’, ahora ’’se escribe un artículo’’, y esto por cierto para ser leído pero también (¿sobre todo ?) para alargar una lista de publicaciones, aumentar un índice, obtener un financiamiento o una promoción. ¿Cómo imaginar hoy en día que jóvenes y brillantes matemáticos dediquen tanto de su valioso tiempo a escribir una n-ésima versión de un texto destinado a las papeleras de Bourbaki o, en el mejor de los casos, a aparecer sin nombre de autor ? Si el proceso continúa funcionando -la prueba es este nuevo libro- ¡no es sorprendente que se haya ralentizado !

La publicación de los fascículos comenzada en 1940 continuó de manera regular hasta 1965. Enseguida decreció hasta los años 1980 donde prácticamente se detuvo.

Eso obedeció a las mismas limitaciones que las publicaciones de textos matemáticos (y que la edición en general). Después del período glorioso de la connivencia y del matrimonio por amor entre un editor (Enrique Freymann, de la editorial Hermann) y sus autores (Bourbaki, pero también sus miembros) entre los años 1930 y 1950, y luego de numerosas vicisitudes, de ahí en adelante es Springer el que publica a Bourbaki. Este editor recibe un archivo ’pdf’ listo para imprimir (fabricado por el autor, aquí la asociación de colaboradores [10] de Nicolas Bourbaki), y el resultado de la impresión deja perplejo. El texto está colocado extrañamente sobre la página, su impresión es pálida, pálida, casi ilegible, a punto ya de borrarse... Habrá desaparecido mucho tiempo antes que los historiadores abran ’’Algèbre chapitre 8’’.

Y Bourbaki ? Un pequeño grupo de matemáticos que se reúnen para hablar de la matemática que aman, de la belleza en matemática tal vez, de manera tranquila, elegante y abstracta, como uno ya no tiene la ocasión de hacerlo en la verdadera vida de los matemáticos, con gastos de los derechos de autor de las obras que han escrito aquellos que han reclutado a aquellos que (...) los han reclutado, sin que ellos puedan o incluso deseen escribir por sí mismos una continuación, pero que siempre organizan un hermoso seminario muy útil, ya que permite al menos hacerse una idea de resultados y de métodos nuevos en campos (no muy) alejados de su propia subdisciplina.