Sea G un grupo

Donde se habla de grupos y del teorema de Galois

Le 25 octobre 2011  - Ecrit par  Christine Huyghe
Le 25 octobre 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
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Sea G un grupo

Un grupo es un objeto matemático abstracto. Veremos que es sobre todo una noción útil, natural, utilizada en especial por Évariste Galois, cuyo aniversario de nacimiento se celebra hoy. Aunque Galois no haya dado la definición de grupo, apostamos a que él no desmentiría la potencia del formalismo en matemáticas.

Algunos ejemplos de grupos

Todos ustedes, lectores, ciertamente ya conocen algunos grupos. Un grupo es un conjunto provisto de una operación que tiene ciertas propiedades. Por ejemplo, cuando se añade o se suprime dos enteros, se manipula una estructura de grupo sobre el conjunto $\mathbf{Z}$. Cuando se multiplica o se divide fracciones racionales no nulas, se manipula una estructura de grupo sobre el conjunto $\mathbf{Q}\backslash \{0\}$. Pero cuidado, cuando se adicionan los naturales no tenemos un grupo, pues el inverso de un natural no es un natural sino un entero. Para probar si un conjunto provisto de una operación es un grupo, se podrá remitir a la definición de abajo.

Pero aquí hay otro grupo, inspirado por el juego Mastermind, en el cual uno modifica un poco las reglas. En esta versión modificada, el jugador B debe adivinar cómo $5$ peones de $5$ colores distintos están dispuestos por el jugador A. En cada jugada, el jugador A indica al jugador B el número de colores bien colocados. ¿Cuántas posibilidades de combinaciones hay ? $5$ para el primer caso (el de la izquierda), $4$ para el segundo, ..., o sea $5!=120$ posibilidades. El objetivo del juego es encontrar la combinación elegida por A, permutando los colores de partida. Aquí, a la izquierda, un ejemplo de dos primera jugadas de B, suponiendo que la primera combinación propuesta por B no tiene ningún color bien colocado. La permutación efectuada por el jugador B envía el azul sobre el rojo, el amarillo sobre el azul, el verde sobre el amarillo, el rojo sobre el negro. Ya no hay opción para el negro, que debe ser enviado sobre el verde.

Hagamos cuatro comentarios :

  • Se puede encadenar (diremos componer) las permutaciones : si el jugador B intenta una combinación, luego otra nueva permutando esta nueva disposición, obtiene también una permutación de la disposición de inicio. Por ejemplo, si él procede al siguiente encadenamiento,

habrá ganado una jugada efectuando directamente esta.

  • Se puede dejar intacta la disposición de inicial sin permutar absolutamente nada. Esta permutación, no muy útil para el juego, es la permutación idéntica. Aquí está.
  • Si uno ha permutado una disposición de colores, se puede aún volver atrás, permutando los colores de manera de volver a la disposición inicial. Se dice que toda permutación tiene una inversa. Aquí hay un ejemplo.
  • Efectuemos dos permutaciones $p$, $q$, seguidas de una tercera permutación $r$. Se encuentra lo mismo si uno efectúa antes la primera $p$, seguida de la compuesta de $r$ con $q$.

Esas cuatro propiedades son exactamente los axiomas de un grupo. El que interviene aquí es el grupo de las permutaciones de un conjunto de $5$ elementos.

Se encuentra otros grupos de permutación en la naturaleza y en otros juegos, como el taquin.

Permutaciones y ecuaciones algebraicas

A principios del siglo XIX, se conocía fórmulas para resolver ecuaciones como
$ ax^2+bx+c=0.$ Esta es una de esas fórmulas :
\[x=\frac{-b+/-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\]

Para una ecuación del 3er grado, se disponía también de las fórmulas de Cardano. Por ejemplo, para la ecuación $ x^3+3px+2q=0$, se encuentra una solución
\[ x=({\sqrt{q^2+p^3}-q})^{1/3} + ({\sqrt{q^2+p^3}+q})^{1/3}.\]
Las otras dos soluciones también son dadas por tales fórmulas. Hay asimismo un método con fórmulas, que se debe a Ferrari, para resolver las ecuaciones de grado $4$. Notemos que aquí uno se interesa en las soluciones en números complejos de esas ecuaciones, es decir, uno agrega a los números clásicos los números llamados imaginarios, de manera que una ecuación de grado dado igual a $d$ posea en general $d$ soluciones distintas.

La pregunta, planteada desde (al menos) Lagrange, era : ¿hay siempre fórmulas para resolver ecuaciones algebraicas ? Sucede que algunas operaciones algebraicas ligadas a la ecuación permutan las soluciones entre ellas [1]. En general, si uno toma una ecuación de grado $5$, se asocia por este método el grupo de permutaciones de las $5$ soluciones de la ecuación, el mismo grupo que aquel con el cual jugó el jugador de Mastermind. Es el caso, por ejemplo, para la ecuación
\[X^5-X-1=0.\]
Aquí están dibujadas las soluciones en números complejos de esta ecuación. En negro está la única solución real.

Para esta ecuación, permutar las soluciones se traduce en considerar el grupo que le está asociado. Este procedimiento es incluso muy completo. Hay que pensar en él como un diccionario -un poco difícil de establecer explícitamente, pero un diccionario a pesar de todo- entre las ecuaciones de una parte y los grupos de otra. Mejor todavía : poder resolver una ecuación por fórmulas puede leerse sobre este conjunto abstracto asociado a la ecuación, el grupo, sin que haya necesidad de calcular explícitamente las fórmulas que dan las soluciones. Si tal es el caso, es decir, si la ecuación puede resolverse por fórmulas, entonces el grupo que está asociado a ella en el diccionario verifica una propiedad algebraica concreta, la cual se llama ’’ser resoluble’’ [2]. De este modo, cuando yo tomo una ecuación, me basta en teoría con consultar mi diccionario para saber si puedo resolver esta ecuación mediante fórmulas algebraicas, con la condición de que sepa con qué tipo de grupo estoy relacionada, resoluble o no.

Tomemos una ecuación de grado $2$, que tiene dos soluciones distintas. El grupo que está asociado con ella es el conjunto de las permutaciones de ambas soluciones $x_1$ y $x_2$. Este grupo tiene dos elementos, la permutación identidad que envía a $x_1$ sobre $x_1$ y a $x_2$ sobre $x_2$, y aquella que cambia $x_1$ y $x_2$ ($x_1$ es enviada sobre $x_2$ y $x_2$ sobre $x_1$). Este grupo de dos elementos es resoluble, y por esta razón uno dispone de una fórmula para resolver las ecuaciones de grado $2$.

Volvamos por lo tanto a nuestra ecuación de grado $5$, $X^5-X-1=0$. El grupo que está asociado a ella en el diccionario es el grupo de las permutaciones con $5$ elementos. Galois demostró que ese grupo no es resoluble, de manera que no se puede resolver esta ecuación mediante fórmulas.

Y ahora ...

La definición de un grupo

Sea $G$ un conjunto provisto de una ley de composición interna notada como $*$ [3]. Se dice que $G$ es un grupo si :

  • existe $e$ en $G$ tal que para todo $x$ de $G$, $x*e=e*x=x$,
  • para todo elemento $x$ de $G$, existe un elemento $x^{-1}$ de $G$, tal que
    $x*x^{-1}=x^{-1}*x=e$ [4],
  • la ley $*$ es asociativa, esto es, para todos los $x,y,z$ en $G$,
    \[(x*y)*z=x*(y*z).\]

Cuidado con las notaciones : para ver que $\mathbf{Z}$ es un grupo para la adición, hay que hacer $x^{-1}=-x$. Para las permutaciones, la ley considerada es la composición de las permutaciones.

Conclusión

El interés de una definición abstracta de un grupo es que se aplica a muchas situaciones, en contextos diferentes. Así, a cada matemático sus grupos favoritos, como aquí [5].

El trabajo de Galois es prodigioso por más de una razón. Primero, él resolvió un problema importante. Luego, la idea de que haya un diccionario entre dos mundos matemáticos a priori diferentes [6], fue también a la vez innovador, fecundo y profundo. Para resolver un problema, una parte del trabajo de matemático consiste a menudo en establecer y construir tales diccionarios entre objetos matemáticos diferentes.

Acerca de las consecuencias del trabajo de Galois para las matemáticas de los siglos XX y XXI, se podrá consultar el muy buen artículo de Antoine Chambert-Loir [7].

Y también está Évariste Galois, el matemático comprometido, que pagó su compromiso político con una estadía en prisión.

Post-scriptum :

Agradezco a Rutger Noot por su atenta lectura, a Adriano Marmora por haber desenterrado el polinomio $X^5-X-1$, así como a M. Roux por su comentario acerca de la ecuación de grado $2$ que yo agregué al texto.

Los cálculos y dibujos para este texto fueron efectuados con ayuda de los programas computacionales libres GeoGebra y Sage.

Notes

[1Estas operaciones no son mágicas, pero un tanto difíciles de explicar aquí.

[2terminología por supuesto ligada al contexto de las ecuaciones algebraicas.

[3una operación que a dos elementos de $G$ asocia un elemento de $G$

[4$x^{-1}$ es único y es el inverso de $x$.

[5¡que no son necesariamente de Galois !

[6dentro de los cuales uno, el de los grupos, ¡no había sido nunca verdaderamente estudiado !

[7Galois et les corps finis, Pour la Science, n° 408, octobre 2011.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Sea G un grupo» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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