Christian Herlin, Conrad Dasypodius y el Analyseis Geometricæ sex librorum Euclidis

Cunradus Dasypodius, o Conrad Rauchfuss, nació en Suiza hacia 1530 y falleció en Estrasburgo el 26 de abril de 1600. Fue hijo del helenista Peter Dasypodius, quien publicó el primer diccionario griego-latín-alemán en Estrasburgo en 1554. Conrad Dasypodius es conocido sobre todo por el magnífico reloj astronómico de la catedral de Estrasburgo, del cual trazó los planos y que describió en su obra acerca de Herón (Heron mathematicus, Estrasburgo, 1580). Pero, beneficiado por una sólida formación humanista y poseedor él mismo de numerosos manuscritos, publicó sobre todo ediciones griegas, acompañadas de traducciones latinas, obras de autores de la Antigüedad como los Elementos de Euclides, las Definiciones de Herón, o las obras acerca de la esfera de Autólico y de Teodosio. Estas obras tienen un objetivo pedagógico. Él ocupó la cátedra de matemáticas en el Gymnasium de Estrasburgo [1] a partir de 1562.

La obra que nos interesa aquí es el Analyseis Geometricæ sex librorum Euclidis (La explicación de seis libros de geometría de Euclides), que Dasypodius publicó en Estrasburgo en 1566. En la portada se precisa que los libros I y V fueron realizados por Christian Herlin. Se sabe poco sobre este personaje, que no parece haber dejado otro escrito que el que retomó aquí Dasypodius. Herlin fue el primer ’’mathematicus publicus’’ del Gymnasium. Durante más de 30 años, hasta su muerte en 1562, él enseñó los rudimentos de aritmética, de geometría y de astronomía [2]. Dasypodius fue su alumno, antes de convertirse en su asistente y de ocupar su cátedra de matemáticas a su muerte [3].

En el Analyseis, los dos autores proponen una traducción en términos de silogismo de las demostraciones de proposiciones de los libros I al VI de los Elementos de Euclides [4]. Un silogismo es un razonamiento en el cual dos premisas, llamadas mayor y menor, conducen a la conclusión. El ejemplo más comúnmente evocado es este :

Todos los hombres son mortales,
ahora bien, Sócrates es un hombre,
por lo tanto Sócrates es mortal.

Las tres proposiciones giran alrededor de tres términos : el término medio, hombre ; el término mayor, mortal ; y el término menor, Sócrates. La conclusión genera el vínculo entre el mayor y el menor, lazo establecido gracias al medio, que se encuentra entre las dos premisas. Para que el razonamiento sea válido, es decir, para que a partir de dos premisas verdaderas se pueda extraer una conclusión verdadera, es necesario que el silogismo siga ciertas reglas, que fueron enunciadas antes por Aristóteles en los Primeros Analíticos. La teoría de los silogismos va a interesar especialmente a los filósofos de la Edad Media, y el arte del razonamiento forma parte de la enseñanza en las escuelas y las universidades del Renacimiento.

Una empresa pedagógica

Antes de examinar cómo Herlin y Dasypodius traducen bajo la forma de silogismo las pruebas de dos proposiciones del libro I de los Elementos de Euclides, vamos a preguntarnos por qué se lanzaron a tal empresa.

Dasypodius lo explica en el prefacio del Analyseis, donde aborda sucesivamente los siguientes temas : la necesidad del estudio de las matemáticas para la comprensión de las otras ciencias, así como también para el buen andar de la sociedad ; los obstáculos al estudio de la geometría en razón de su supuesta inutilidad y de la dificultad para dedicarse a ella ; la utilidad del estudio de la geometría para el conocimiento de los objetos terrestres y celestes ; el lugar de la geometría en la jerarquía de las ciencias ; la estructura de los Elementos de Euclides. Para terminar, él explica cuál fue el proyecto de su maestro Herlin, que él retomó en el Analyseis : hacer más claras las demostraciones iluminando las diferentes proposiciones de los silogismos que componen las demostraciones, proposiciones que están reagrupadas por Teón (como muchos de sus contemporáneos, Herlin y Dasypodius pensaban que las pruebas no eran la obra de Euclides sino de Teón de Alejandría, quien editó los Elementos de Euclides en el siglo IV). Dasypodius escribió (el texto original está en latín, soy yo quien traduce) :

Luego, porque […] se requieren muchas cosas para hacer una demostración, hemos aislado la construcción de la prueba. La prueba en sí está compuesta por muchos argumentos o términos medios de los silogismos. Es por eso, con el fin de disipar la oscuridad y resolver las dificultades, que hemos aislado las proposiciones de los silogismos que están reagrupados por Teón con la brevedad más aguda. Aquí están muy desarrolladas y quedan más claras.

Este proyecto, iniciado por Herlin en los libros I y V, lo continuó Dasypodius en los demás libros, hasta el sexto, e hizo esto para el bien de los alumnos :

Es por eso que mi maestro trató esto en el libro I y en el libro V, y yo me empeñé en hacer lo mismo en los otros libros con los consejos de los mejores y más eruditos de los hombres y esto en el interés de los mejores adolescentes, si bien no con la facilidad y la claridad que tenía mi maestro, pero con un espíritu igual y benévolo para los alumnos de geometría.

El objetivo es claramente pedagógico. En el prefacio de otra de sus obras, el Volumen primum mathematicum, publicado en Estrasburgo en 1567, Dasypodius describe largamente lo que era la enseñanza en el Gymnasium de Estrasburgo. El curso se desarrollaba en diez años y apuntaba a alumnos de 6 a 16 años aproximadamente. Los primeros años estaban dedicados al estudio del latín : escritura, lectura, gramática. El estudio del griego era introducido en el quinto año. La enseñanza de la retórica comenzaba en el octavo año. Los dos últimos años, la retórica bordeaba la dialéctica. Y así, esos dos últimos años los alumnos recibían una enseñanza de geometría, de aritmética, de astronomía y de geografía. En todas esas disciplinas, literarias y científicas, se privilegiaba el estudio de grandes autores, entre otros Cicerón, Virgilio, Homero, pero también Euclides o Ptolomeo.

De ese modo los alumnos eran iniciados al modo de razonamiento en el marco de su enseñanza de la dialéctica ; los silogismos por lo tanto, les eran familiares. Transcribir las demostraciones euclidianas con ayuda de silogismos podía permitir a los alumnos poner en práctica lo que habían aprendido y les proporcionaba un acceso más fácil a las matemáticas. Haciendo esto, los alumnos tenían a su disposición las herramientas necesarias para participar en los debates públicos entre geómetras :

Habrá tal vez quienes digan que estas son cosas demasiado escolásticas y pueriles. Confieso y digo pública y simplemente que escribí esto para los jóvenes y nuestros alumnos, que en sus cursos después del conocimiento de las lenguas, luego de la retórica y de la dialéctica, se voltean hacia los geómetras y bajan a su arena. He hecho esto con el fin de que ellos se ejerciten y consoliden el discernimiento que han adquirido desde su más temprana edad, que alegren su alma mediante estas contemplaciones, y finalmente que conforten su memoria en la cual están colocadas muchas cosas .

La proposición 1 del Libro I de los Elementos

Veamos por lo tanto ahora lo que proponen Herlin y Dasypodius para dos proposiciones del libro I de los Elementos de Euclides : la primera, que es un problema y que pide construir un triángulo equilátero sobre un segmento dado ; y la sexta, en la cual está demostrado, por contradicción, que si dos ángulos de un triángulo son iguales entre ellos, los lados que sirven de base a esos ángulos iguales también son iguales entre ellos.

La construcción de un triángulo equilátero sobre un segmento dado es simple. Dado el segmento AB, se describe la circunferencia de centro A y de radio AB ; luego la circunferencia de centro B y de radio AB. Ambas circunferencias se cortan en el punto C que forma un triángulo equilátero con A y con B. Se puede probarlo fácilmente. Los segmentos AB y AC son los radios de la circunferencia centrada en B, por lo tanto son iguales. Así, AC y BC son ambos iguales al mismo segmento AB, por lo tanto son iguales entre sí. En consecuencia, los tres lados del triángulo son iguales entre ellos.

Así es como Dasypodius, a continuación de Herlin, presenta la proposición y su demostración. Yo traduje el texto inicialmente en latín y puse en paralelo la demostración euclidiana, en la traducción francesa de Bernard Vitrac (se encuentra en el registro las propiedades que son utilizadas en la demostración y que están señaladas entre paréntesis) [5].

Se ve en primer lugar que Dasypodius, a continuación de Herlin, pone claramente en evidencia las etapas de la demostración. En efecto, esta distingue la Ectesis o la exposición, en la cual son precisados los datos del problema o del teorema ; luego se tiene el Diorismo o la determinación, es decir, la reformulación del enunciado del problema con los nuevos datos introducidos en la exposición ; cuando es necesario, se describe entonces la construcción o Kataskeue ; enseguida viene la demostración o Apodeixis, que concluye con el ’’lo que había que hacer’’, si es un problema, o ’’lo que había que demostrar’’ si es un teorema. Estas etapas, que uno encuentra en todas las proposiciones de los Elementos de Euclides, han sido identificadas y descritas por Proclus (siglo V), quien comentó el tratado euclidiano (compuesto en el siglo III antes de la era cristiana). Ahí de nuevo, Dasypodius explicaba en el prefacio :

Ya que, como se puede ver en la obra de Proclus y en mis comentarios, no importa en cuál proposición geométrica se observa seis etapas : la Prostasis [6], la Ectesis, el Diorismo, la Katakeue, la Apodeixis y la Symperasma, pero ya que estas no pueden ser fácilmente observadas en el comentario de Teón, le pareció a mi maestro Christian Herlin que cada una debía ser puesta en evidencia […].

La demostración misma es presentada bajo la forma de cuatro silogismos. Cada silogismo es seguido por una explicación. Se ve que Herlin y Dasypodius siguen paso a paso la demostración euclidiana. Y finalmente, se facilita la transcripción de la demostración bajo la forma de silogismos. En cada etapa, basta con poner en evidencia las propiedades en juego en la demostración (definición, noción común, axioma u otras proposiciones). Estas propiedades son identificadas en las ’’explicaciones’’.

De ese modo, en la primera etapa de la demostración, Euclides explica que ya que el punto A es el centro del círculo CDB, AC es igual a AB y los lectores del tratado euclidiano han notado que aquí se debía utilizar la definición 15 del libro I, que explica que en un círculo todos los radios son iguales. Herlin y Dasypodius transcriben esta primera etapa con ayuda del siguiente silogismo :

Mayor : En todo círculo, las rectas llevadas a partir del centro hacia la circunferencia son iguales (en la explicación, ellos notan que se trata aquí de la definición del círculo).

Menor : La figura BCD es un círculo de centro A (está dada por la construcción).

Conclusión : Por lo tanto la recta AC es igual a la recta AB.

El principio es el mismo para las otras etapas.

La proposición 6 del libro I

Con la proposición I. 1 teníamos el ejemplo de un problema. Veamos ahora el caso de un teorema, con una demostración indirecta. En la proposición 6 del libro I se demostró que si dos ángulos de un triángulo son iguales entre ellos, los lados que subtienden esos ángulos también son iguales entre sí. Se considera un triángulo ABC tal que los ángulos ABC y ACB son iguales. Se muestra que los lados AB y AC son iguales. Aquí sólo doy una parte de la demostración del texto de Herlin y de Dasypodius y en el tratado euclidiano [7].

De hecho, pueden presentarse tres casos : que la línea AB sea igual a la línea AC, que sea más grande o que sea más pequeña. Se supone en una primera etapa que es más grande, y es el único caso considerado por Euclides, mientras que Herlin y Dasypodius completan la demostración examinando el caso donde AB es más pequeño que AC.

Si por lo tanto AB fuera más grande que AC, se introduce el punto D sobre AB tal que BD sea igual a AC. De ahí se deduce, aplicando la proposición 4 que da una condición para que dos triángulos sea iguales (uno de los ángulos del primer triángulo DBC debe ser igual a uno de los ángulos del segundo triángulo ACB –en este caso que el ángulo en B del triángulo DBC es igual al ángulo en C del triángulo ACB–, y dos lados de DBC deben ser iguales a dos lados de ACB – BD, BC igual a AC, BC) que el triángulo DBC sería igual al triángulo ACB, lo que es absurdo ya que uno es manifiestamente más grande que el otro. Ahí de nuevo, los silogismos compuestos por Herlin y Dasypodius retoman las etapas de la demostración, explicitando las propiedades en marcha en la demostración.

Las demostraciones de las otras proposiciones de los libros I al VI están todas bajo este mismo modelo. Es un hecho que el recurso de los silogismos alarga considerablemente la demostración. Así, para la proposición 10 del libro II Dasypodius ¡utiliza 45 silogismos ! Sin embargo esta transcripción con ayuda de silogismos tiene el mérito de poner bien en evidencia las propiedades que están en el fundamento de las pruebas y sus diferentes articulaciones.

Epílogo

Para terminar, notemos que Herlin y Dasypodius no son los únicos en haber propuesto traducir en términos de silogismos la proposición 1 del libro I de Euclides. Hay una transcripción similar en el comentario a los Elementos de Euclides que publicó en Roma en 1589 Christoph Clavius, matemático, profesor en el colegio jesuita de Roma. Esta prueba, que difiere de la propuesta por Herlin y Dasypodius en el orden de los silogismos, Clavius la retoma del filósofo Alexandre Piccolomini en su obra De certitudine mathematicarum disciplinarum, publicada en Venecia en 1565. Esta obra no tiene un propósito pedagógico, trata de filosofía de las matemáticas. Piccolomini se pregunta en efecto acerca del valor de las demostraciones matemáticas : ¿son buenas demostraciones según los criterios dados por Aristóteles en los Segundos Analíticos, a saber, que una demostración o un silogismo científico debe deducir la conclusión a partir de sus verdaderas causas [8] ? Esta pregunta dará lugar a un nutrido debate en el Renacimiento, del cual Christoph Clavius es uno de los actores [9]. Sin embargo, en su edición de los Elementos de Euclides, Clavius retoma la demostración de Piccolomini sin nexo aparente con esta pregunta. Y mientras Dasypodius se propuso transcribir el conjunto de las demostraciones de los libros I al V, Clavius estimó, en cuanto a él, que :

Se puede resolver de la misma manera todas las demás proposiciones, no solamente de Euclides, sino también de otros matemáticos. Sin embargo, las matemáticas desdeñan este tipo de resolución en sus demostraciones, con el fin de mostrar más breve y fácilmente lo que se ha propuesto.