Una imagen matemática

El 22 enero 2015  - Escrito por  Sylvain Barré
El 3 agosto 2021  - Traducido por  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Artículo original : Une image mathématique Ver los comentarios
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Es de una imagen matemática en el sentido metafórico de lo cual quisiera hablar aquí.

Para comenzar y presentar el tema, señalemos¡ algo que me parece conocido: los anillos borromeos. Tres círculos forman un entrelazado que encuentra su cohesión gracias a la presencia de cada uno, de tal manera que si uno de ellos se retirara, todo se desataría. Necesitamos de cada uno de nosotros para que la estructura se mantenga (en teoría de nudos se habla de enlace brunniano).

Describamos ahora un primer objeto matemático que va a proporcionar por sí solo dos imágenes: el TAQUÍN. Este objeto ya fue presentado en este sitio en noviembre de 2011.

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La conclusión es que, si ustedes desmontan el taquín, entonces tienen una posibilidad en dos de montarlo de nuevo de una manera aleatoria que sea factible (es decir, que se pueda llevar a su posición inicial deslizando los cuadrados en la casilla vacía). Con mayor exactitud, si ustedes cambian dos casillas, transforman una situación factible en otra no factible (e inversamente :-).

Por lo tanto, deducimos de esto que si un taquín lleva dos cuadrados indistinguibles, siempre será factible (¡cambien los dos cuadrados idénticos si ustedes están bloqueados!)

Yo veo dos imágenes en este objeto.

Comiencen ustedes a resolver el taquín. Les quedan sólo los tres últimos cuadrados por colocar y... ¡caramba!, no están en el orden cíclico adecuado. Están tentados de concluir que el taquín fue desmontado y mal remontado, ya que ustedes conocen la teoría del taquín. Ahora bien, ustedes no han visto que había dos casillas idénticas. Sin darse cuenta, colocaron una en un lugar y la otra en otro lugar, y eso no es anodino.

La primera imagen, por lo tanto, es ésta. Ante una imposibilidad, ustedes pueden:

- ya sea aportar la prueba de esta imposibilidad (sin darse cuenta de que ustedes hacen una hipótesis implícita sobre los lugares de caras indiferenciadas),

- o ustedes se permiten una «trampa» que parece vana (¡cambiar dos casillas idénticas!) pero que, sin embargo, entrega la solución.

Hay acciones que no son triviales, pero hay que ser iniciado para verlo.

Entonces, no digan más ’’¡es inútil hacer eso, no sirve para nada!’’ Si uno mirara desde más arriba, ¡la acción podría revelarse que es útil!

Este mismo objeto nos da una segunda imagen.
Si ustedes no llegan a resolver un problema, se les da una indicación, o a veces se les entrega una simplificación al problema. ’’Colóquense en el caso particular donde..., y será más simple’’ O bien, ’’hagan como si ... ’’
Para el taquín, se tapa dos de las caras (el 0 y el 14, por ejemplo) y se presenta esto como una simplificación, una ayuda:
’’No se preocupen por colocar esas dos ahí, ya que incluso si están invertidas, consideraremos que ustedes han resuelto el problema.’’

Ustedes creyeron que aportaron un ayuda, cuando en realidad ¡complicaron el problema hasta el punto de convertirlo a veces en uno sin solución para algunos que creían, sin embargo, haber comprendido!

Esto, desde el punto de vista de quien plantea los acertijos. Pero a veces aquél que busca resolverlo es quien simplifica el problema para sí mismo, buscando soluciones en un caso particular. Él puede concluir sin razón, entonces, en la imposibilidad, ya que su problema parece ya sin solución en una versión reducida.

Para terminar daré otro ejemplo, también en teoría de grupos. El cubo de Rubik reemplaza al taquín. Existen cubos de Rubik que tienen caras centrales indiferenciadas (¡completamente ausentes!).
Este cubo parece, por lo tanto, simple de reconstruir... ¡pero no lo es! Se puede calcular muy fácilmente el subgrupo de las permutaciones de las caras centrales: el de orden 24. Pero el subgrupo compuesto por permutaciones de caras centrales que fijan todas las otras caras (esquinas y aristas) es de índice 2 en este último. De este modo, aunque las caras centrales estén ausentes, ellas juegan un rol, y si usted las coloca mal, hay un riesgo (una posibilidad sobre dos, igual que en el taquín) de que salga perdiendo al tratar de reconstituirlo.
Como indicación acerca de este último problema, les puedo decir que basta con permutar cíclicamente cuatro centros (una operación elemental del cubo) para desbloquear todo.

Ya lo han visto, dos objetos que aportan cada uno dos imágenes matemáticas. Sin duda ustedes tienen muchas otras imágenes como ésas en mente. ¡Compártanlas entonces!

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Para citar este artículo:

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Una imagen matemática» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Sylvain Barré - Rubik’s cube
img_13396 - Sylvain Barré - taquin avec caches

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