Una nueva manera de ver el mundo

Le 23 octobre 2019  - Ecrit par  Maria Isabel Binimelis Bassa
Le 13 juillet 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Une nouvelle manière de voir le monde Voir les commentaires
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El Instituto Henri Poincaré e Images des Mathématiques han unido sus esfuerzos para supervisar la reedición de la colección El mundo es matemático, publicado por RBA en convenio con Le Monde. En 40 obras, esta colección de calidad, -resultado de un proyecto colectivo de matemáticos españoles- aspira a presentar a través de una gran variedad de puntos de vista, de múltiples facetas, las ciencias matemáticas, bajo un aspecto histórico, humano, social, técnico, cultural...
Revisado y mejorado al nivel de la forma, esta nueva edición fue completamente leída y corregida por el equipo de Images des Mathématiques. Se agregó prefacios y listas bibliográficas. Le Monde consagra un suplemento especial para el lanzamiento de esta colección presentada por Cédric Villani, quien escribió el prefacio original.
Cada semana, con la salida de un nuevo número de la serie, un extracto seleccionado será presentado en Images des Mathématiques. Estará acompañado por un índice del libro y una invitación a prolongar su lectura.

Introducción

Hace cuarenta años nunca nadie había oído hablar de fractales. Sin embargo, el concepto existía pero el nombre aún no había sido pronunciado. En su libro ’’La mente, el computador y las leyes de la física’’, cuyo título original es The Emperor’s new mind, el profesor Sir Roger Penrose opinó que las matemáticas son un descubrimiento y no una invención. Los objetos matemáticos son imágenes mentales, a menudo estimuladas por el aparente orden de ciertos aspectos del mundo que nos rodea.

La esponjosidad de una nube, la ramificación de un árbol, la irregularidad de un relámpago, los diseños que ornamentan la cola de un pavo real o incluso la calcificación de una estalactita, son fenómenos que puede ser descritos por la geometría fractal de la misma manera como la forma de la Tierra puede ser descrita como una esfera y la de un nautilus por una espiral. La Tierra no es una esfera, ni siquiera un elipsoide perfecto, pero esas aproximaciones son útiles para realizar cálculos de predicción de eclipses por ejemplo, y permiten preverlos con una buena precisión.

El proceso de descripción y de comprensión del universo dio un giro cuando los científicos se interesaron en formas nuevas que habían sido consideradas hasta entonces como insignificantes o esporádicas. Esas formas eran calificadas como irregulares y a veces incluso como caóticas. En un esfuerzo de organización de ese ’’desorden’’, se buscó y encontró reglas hasta ahora ignoradas, modelos geométricos que se repetían a diferentes escalas de observación, tanto espaciales como temporales. Nassim Nicholas Taleb, en su libro El cisne negro, considera que es en ese momento cuando fueron ensambladas por Benoît Mandelbrot todas las piezas del rompecabezas, descritas ya desde hace tiempo por pensadores como Platón, Yule o Zipf. Según Taleb, fue Mandelbrot quien reunió todos esos puntos y puso en relación lo aleatorio (que de hecho no lo es) y la geometría, para llegar a una conclusión totalmente natural. Para sostener esta tesis, él desenterró obras de matemáticos hasta entonces desconocidos.

Poco después, fueron puestas al día las relaciones entre esas nuevas matemáticas y muchas otras ramas de las ciencias : la biología, la geología, el urbanismo, la economía, la tecnología e incluso el arte. Casi al mismo tiempo, surgió de la sombra lo que se llama el ’’conjunto de Mandelbrot’’, un sorprendente ejemplo por su complejidad y belleza, obtenido por un simple proceso recurrente de elevación al cuadrado. Esta estructura no forma parte solamente de nuestras mentes, sino que tiene una realidad autónoma, existente mucho antes de que fuera percibida por el hombre por primera vez.

Los conceptos matemáticos son entidades intemporales, que van mucho más allá de nuestra existencia y presentan una realidad mucho más profunda que la apariencia material. Desde los albores de la humanidad, los hombres siempre han mostrado mucha curiosidad por determinar las leyes que gobiernan el universo. Los fractales constituyen otra manera de ver el mundo y provienen de campos que actualmente apenas se comienza a explorar.

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Sommaire du livre

Algunas imágenes

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Photos aériennes des zones du Nil, de l’Amazone et des Grands Lacs. Ce sont des surfaces présentant des structures très irrégulières qui peuvent être approchées par des modèles de la géométrie fractale.
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Ces paysages artificiels ont été construits au moyen d’un algorithme semblable à celui utilisé pour construire la fonction de Takagi, mais avec des paramètres aléatoires, en trois dimensions et légèrement modifié. La génération de paysages fractals s’emploie dans la réalisation de nombreux longs métrages.
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Rendu de l’ensemble de Mandelbrot en relief, obtenu avec un algorithme utilisant des courbes de potentiels. L’altitude d’un point dépend du nombre d’itérations nécessaires pour qu’il s’éloigne du centre des coordonnées.
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Agrandissement en relief de l’ensemble de Mandelbrot, dans une zone proche du sommet de la cardioïde principale. À cette échelle, l’ensemble total de Mandelbrot serait aussi grand que l’orbite de Jupiter. Dans ce gigantesque univers, nous pourrions découvrir des mondes fantastiques peuplés d’éléphants, d’hippocampes, de conques marines ou de toute autre merveille. Rendu de l’ensemble de Mandelbrot en relief, obtenu avec un algorithme utilisant des courbes de potentiels. L’altitude d’un point dépend du nombre d’itérations nécessaires pour qu’il s’éloigne du centre des coordonnées.
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De gauche à droite et de haut en bas : des agrandissements de l’ensemble de Mandelbrot. Le centre de l’image est approximativement au centre de l’image précédente.
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Ensemble de Mandelbrot avec différents ensembles de Julia, chaque flèche indiquant la valeur c qui les génère.
Post-scriptum :

El extracto propuesto fue elegido por el autor del prefacio del libro Vincent Beffara. Él responderá los eventuales comentarios.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Una nueva manera de ver el mundo» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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