Variedades

Le 6 novembre 2009  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu
Le 31 août 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
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Un día, cuando me preparaba para bajar del autobús, una señora que estaba a mi lado me preguntó :

« Por favor, ¿qué es una variedad ? »

Como las puertas ya se abrían, le respondí de manera extremadamente concisa :

« ¿Usted ve lo que es una superficie, por ejemplo, de una hoja de lechuga ? Bueno, una variedad es la misma cosa, pero en una dimensión cualquiera. »

Yo no sé lo que la señora pudo comprender de esta descripción. Pero como en el siglo XX las variedades se volvieron objetos fundamentales de la geometría, me gustaría tratar de responder aquí un poco más extensamente la pregunta de esta dama.

Pero primero, ¿por qué me hizo esta pregunta ? Es muy simple : cuando viajo en los transportes en general, a menudo leo artículos de matemáticas. Era el caso aquella mañana, y la palabra « variedad » estaba muy presente en las líneas recorridas.

¿Por qué hay que generalizar la noción de superficie del espacio « físico » cotidiano a una dimensión cualquiera ? Aquí está la explicación dada por Bernhard Riemann en 1854, en su artículo « Acerca de las hipótesis que sirven de fundamento a la geometría » :

Los conceptos de magnitud son posibles solo ahí donde existe un concepto general que permite diferentes modos de determinación. Según si es, o no, posible pasar de uno de esos modos de determinación a otro de una manera continua, ellos forman una variedad continua o una variedad discreta [...]
Los conceptos cuyos modos de determinación forman una variedad discreta son tan frecuentes que, dados objetos cualesquiera, siempre se encuentra -al menos en las lenguas cultivadas- un concepto que les comprende [...] Por el contrario, las ocasiones que pueden hacer nacer los conceptos cuyos modos de determinación forman una variedad continua son tan raros en la vida ordinaria, que los lugares de los objetos sensibles y los colores son casi los únicos conceptos simples cuyos modos de determinación forman una variedad de muchas dimensiones. Es solamente en las altas Matemáticas donde las ocasiones para la formación y el desarrollo de esos conceptos se hacen más frecuentes.

Para más detalles acerca del contexto de este artículo, se podrá consultar la nota del 18 de octubre de 2009 de Joël Merker, titulada « Assembler l’inachevé ».

Un « concepto general » parece pensado aquí un poco como el tipo, y un « modo de determinación » es como una especie dentro de este tipo. Por ejemplo, dentro del concepto de mueble se encuentra toda una variedad de modos de determinación : mesas, taburetes, sillas, armarios y cómodas... Pero es una variedad « discreta » según el vocabulario del matemático, en el sentido en que no se pasa de manera continua de una silla a una mesa a través de toda una familia de muebles.

Por el contrario, se pasa continuamente de un color a otro a través de todo un espectro de colores intermedios. Si se agrega también el tono y la luminosidad, se obtiene una variedad continua en 3 dimensiones, abstracta, es decir, completamente diferente del espacio físico de la percepción sensible.

Tomemos a continuación un ejemplo en las matemáticas no tan « altas » como esa. Si se mira el concepto de recta en el plano, éste admite una variedad continua de « modos de determinación » : se puede pasar de cualquier recta a cualquier otra mediante un desplazamiento continuo. Incluso si esta variedad es nacida a partir de un ente que puede parecernos concreto -un plano-, examinando algunos de los seres más simples que lo habitan -las rectas- es sin embargo una variedad abstracta, en el sentido en que no está por adelantado sumergida en otro espacio.

Se trata en realidad de una superficie, es decir que la variedad es de
dimensión 2
. Para darse cuenta de eso, uno mira las rectas cercanas a una recta establecida. Se puede parametrizarlas por su distancia a un origen fijo fuera de la recta y por el ángulo formado con una dirección establecida. Por supuesto hay muchas opciones, pero en resumen, siempre se necesita dos parámetros para determinar sin ambigüedad una recta cercana a la recta dada. Es precisamente por esta razón que se dice que la variedad es de dimensión 2.

Pero haber dicho esto no determina la forma global de la variedad : un plano, una esfera, un toro, son superficies que tienen formas diferentes. Nuestra superficie abstracta ¿tiene la misma forma que una superficie más concreta ?

Bueno, sí. La variedad de rectas en el plano es en realidad ¡una cinta de Moebius abstracta ! Verla no es algo inmediato, ¡pero empeñarse y llegar a eso produce un placer garantizado ! Aquí hay una indicación : un círculo central de la cinta de Moebius, a lo largo del cual uno no la descompone en dos pedazos por recorte, está formado por la subvariedad de las rectas que pasan por un punto fijo del plano.

Miremos también la variedad de las rectas en el espacio de dimensión 3. Es una variedad abstracta de dimensión 4 ¡que no tiene nada que ver con el espacio-tiempo ! Sirve, por ejemplo, para pensar en los fenómenos de óptica ligados a la desviación de sistemas de rayos (¡rectas !) por diversos medios.

Pero a propósito ¿cómo definir con precisión una variedad de dimensión cualquiera ? Como en el ejemplo de la variedad de las rectas del plano, la idea fundamental es que en el entorno de todo punto parece « plana ». Aquí está por ejemplo lo que escribía Elie Cartan al inicio del capítulo III de su libro « Lecciones acerca de la geometría de los espacios de Riemann », publicado por Gauthier-Villars en 1928. La primera frase es todavía citada bastante a menudo en nuestros días :

La noción general de variedad es bastante difícil de definir con precisión. Una superficie da la idea de una variedad en dos dimensiones. Si tomamos por ejemplo una esfera, o un toro, podemos descomponer esta superficie en un número finito de partes tales que exista una representación biunívoca de cada una de esas partes sobre una región simplemente conexa del plano euclidiano.

[...] En los ejemplos anteriores, cada variedad está definida por un conjunto de puntos situados en un espacio preexistente. Pero también uno puede imaginar variedades in abstracto. En el caso general, una variedad en $n$ dimensiones está caracterizada por la posibilidad de representar el entorno de cada punto $P_0$ por medio de un sistema de $n$ coordenadas susceptibles de tomar todos los valores posibles en el entorno del sistema de valores que representa $P_0$.

De ese modo, una variedad está recubierta por pequeños pedazos identificados con partes del espacio euclidiano modelo de dimensión $n$. Esas identificaciones se llaman cartas, y el conjunto de los cartas forma un atlas.
Es de esta manera como se recubre la superficie de la Tierra con las cartas (mapas) de un atlas geográfico : ¡se ha importado el vocabulario ! También se podrá pensar en las plumas que recubren a un pájaro o en las escamas de un pez.

Desde un punto de vista más físico, cada carta representa la parte del universo donde un observador mide todo con ayuda de un sistema de coordenadas que él eligió como mejor le ha parecido. En su carta, él describirá las estructuras de las cuales tomará conciencia, los objetos, los campos y sus cambios, tratará de extraer leyes, de prever el futuro o de reconstruir el pasado. Y si dos observadores comparan sus descripciones del mundo ahí donde sus cartas se superponen, aparentemente no serán en absoluto las mismas. Sin embargo ¡describen el mismo mundo ! ¿Cómo ajustarlas ? Responder a esta pregunta es el objetivo de las matemáticas, particularmente de eso que ya se llamaba desde hace más de medio siglo en la época de Cartan la teoría de los invariantes. Ya hice brevemente referencia a esto en mi nota titulada « Virtudes de las analogías ».

Cuando Cartan escribía su libro, la teoría de la relatividad general de Einstein -que data de la Primera Guerra Mundial- había dado un nuevo impulso a la búsqueda de los lazos entre la teoría de los invariantes y la geometría de las variedades : su descripción « espacio-tiempo » ya no privilegiaba sistemas de coordenadas. Esto era realmente a priori sólo una variedad de dimensión 4.

El punto sobre el cual quiero insistir aquí es que la definición misma de variedad dada anteriormente incorpora la relatividad de los puntos de vista. En general, las coordenadas utilizadas en una carta determinan ahí un punto privilegiado (piense, por ejemplo, en el punto que se encuentra representado en el centro de cada página de un atlas geográfico). El observador situado en ese punto puede imaginarse vanidosamente que está en el centro del mundo. Pero si aprende a ser más modesto, llega a darse cuenta que no sabe mirar el mundo sino sólo situado en un punto de éste, pero que su punto de vista no le revela más que una pequeña escama del mundo. Él trata entonces de dialogar con los demás observadores, traduciendo por ejemplo sus descripciones en términos invariantes, lo que facilita la unión con las descripciones de los otros. ¡Poco poco se amplía la visión común de la estructura global de la variedad-mundo en la cual todos esos interlocutores viven e imaginan !

Pero ¿por qué entonces Cartan decía que era ’’bastante difícil’’ definir la noción general de variedad ? Desde un punto de vista formal, todas las definociones valen, no hay fáciles o difíciles. Esto cambia mucho desde el punto de vista psicológico. En efecto, a veces uno no llega a comprender la razón de ciertas definiciones y la economía de pensamiento que producen, sino mucho después de la práctica con las encarnaciones de esta definición. Ese es un sentido del término « dificultad ». Pero hay otro que se adecúa a nuestro contexto. Una definición no cae del cielo. Se crea a la vista de fenómenos variados que se desea unificar. Y si se vuelve a lo que escribió Riemann, ¿por qué es justamente la definición dada por Cartan la que expresa su intuición ?

En realidad, la noción anterior de variedad no es suficiente para describir los « modos de determinación » de todos los conceptos que interesan a los pensadores. Se debió permitir a los espacios tener también puntos singulares, se creó las nociones generales de espacio topológico, de esquema, de funtor de módulos, de categoría fibrada en grupoides, de espacio no-conmutativo, etc.

El mundo presenta tal variedad de fenómenos que la creación de nuevos conceptos que permitan pensar mejor en ellos ¡no está ni cerca de detenerse !

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Variedades» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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