¿Y si los números pudieran ser infinitos a la izquierda de la coma en lugar de la derecha...?

Una presentación de los números 5-ádicos

Piste rouge Le 23 avril 2009  - Ecrit par  Sylvain Barré
Le 12 novembre 2019  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Et si les nombres pouvaient être infinis à gauche de la virgule plutôt qu’à droite... Voir les commentaires
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Comúnmente se utiliza la base $10$ para contar. Muy a menudo, uno ni siquiera dice que existen otras maneras de representar los números.

Les propongo aquí considerar la base $5$. Seguramente ustedes se preguntan por qué hablo de base $5$ y no me quedo con los números de todo el mundo, en base $10$ . Bueno, voy a pedirles que confíen en mí por algunos instantes. Espero que todo quede claro al final del artículo.

image des nombres p-adiques

Para comenzar, recordemos el sentido de la escritura usual de los números en base $10$. El número $307$ representa $7$ unidades $+ 0$ decena $+ 3$ centenas. En base $5$ es igual, reemplazando los ’’paquetes’’ (las potencias) de $10$ por paquetes o potencias de $5$. Por supuesto, conviene entonces utilizar solo las cifras $0,1,2,3$ y $4$. Así, el número $1034$ representa $4$ unidades $+ 3$ quinarios $+ 1$ quinario de quinarios de quinarios, es decir
$5\times 5 \times 5+3 \times 5+4=144$ (o una ’’gruesa’’, como se decía antes para contar los huevos). Para las cifras después de la coma, es igual con las potencias negativas de la base : $4,23$ en base $5$ representa $4+2/5+3/(5 \times 5)$.

Para evitar toda confusión en las cifras, se colocará un pequeño $5$ como índice cuando se escriba en base $5$. En base $10$, no se colocará nada. Por lo tanto, se podrá escribir : $20_5=10$.

Se verá que tener por base un número primo da más libertad.

La adición

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addition

Todos saben escribir los naturales, ¡e incluso sumarlos !
También se sabe hacerlo con los números que tienen algunas cifras después de la coma. Generalmente se coloca un número encima de otro, con las comas bien alineadas. ¡Y sobre todo, se pone atención a las reservas !

En el ejemplo de la adición presentado aquí (comenzando por la derecha),

$1$ y $0$ hacen $1$,

$3$ y $4$ hacen $7$, pero en $7=5+2=12_5$, yo coloco $2$ y reservo $1$, etc.

La sustracción

Es aquí cuando empiezan las dificultades.
Todo el mundo sabe sustraer a un número grande un número más pequeño que él. Ocurre que a veces uno tiene ganas de quitar uno grande¡a uno más pequeño... En general -ya que no se sabe cómo hacerlo- uno se devuelve a lo que sabe hacer (el más grande menos el pequeño) y se señala el problema encontrado colocando delante del resultado un pequeño guión, símbolo de la sustracción.

¿Por qué hacer esto ?

Tratemos de reflexionar en una nueva forma de sustraer 27 a 30 (con los números de todos los días). Yo tengo 27 ’’cosas’’ y le debo 30 a Lucía... Quiero por lo tanto ’’calcular’’ 27 - 30. Entonces pido prestadas 100 ’’cosas’’ a Juan, me quedo ahora con 127 y puedo darle 30 a Lucía. Me quedan 97. ¡Pero le debo 100 a Juan ! Pido prestados 1000... y obligado de pedir siempre más, escribiré un número infinito a la izquierda [1].

Recomencemos sustrayendo $2$ a $1$, por ejemplo, en base 5 esta vez. Coloquemos la sustracción y hagamos como los aprendimos en la escuela :

$2$ menos $11_5$ queda $4$ y reservo $1$ ;

$1$ menos $ 5$ queda $4$ y reservo $1$ ;

$1$ menos $5$ queda $4$ y reservo $1$... la soustraction

Por lo tanto el resultado es $...444444_5$ : un número infinito a la izquierda. Así es como se construye nuestro primer número $5$-ádico. No se va a abandonar completamente el uso de un signo, aunque no para construir nuevos números sino más bien para dar otro nombre a un número ya construido. Así, se escribirá $...444444_5=-1_5$.

Siempre se puede añadir y sustraer. Basta solamente con aceptar los números infinitos a la izquierda.

La multiplicación y la división

Tan pronto como se sabe adicionar los números y multiplicar las cifras, ¡se sabe multiplicar ! Basta con tener cuidado en desplazar la coma como se debe, para multiplicar solo números sin coma (eventualmente infinitos a la izquierda). Uno también puede conformarse con multiplicar números que no terminen en ceros (como se enseña en la escuela). multiplication

Para dividir, uno se libera de las comas y de los ceros a la derecha, como en el ejemplo anterior. Olvidémonos ahora del orden entre los números que nos guía en la división que uno aprende en la escuela. Aquí, ya no hay ni más pequeño ni más grande (¡hermoso mundo !).

Comencemos por dividir $1$ por $2$. ¿Cuál cifra ($1,2,3$ o $4$) multiplicada por $2$ tendrá una última cifra en su escritura de base $5$ que valga $1$ ?
Es $3$. Luego se hace $1$ menos $2\times 3~(=11_5)$ ; queda $.....44440_5$. Ahora va dos $2$ veces :
$...4444_5-4$ queda $...4440_5$ : ¡como antes !
El resultado (el cuciente en la división de $1$ por $2$) es por lo tanto $...2223_5$. Por supuesto, el cociente es obtenido por el cálculo de derecha a izquierda. No olvidar esto cuando se haga una división. un demi

Se ha visto que incluso dividiendo los números naturales uno puede obtener, durante el cálculo, números infinitos a la izquierda. No son más difíciles de manipular que los números naturales (sobre todo aquellos que terminan por repetirse). El único punto importante es encontrar la cifra que -multiplicada por la cifra de las unidades del divisor- va a dar un número cuya cifra de las unidades es la del dividendo. ¡Basta con hacerse una tabla de una vez por todas ! Simple, ¿no ? Ahora ustedes saben dividir y multiplicar números finitos a la derecha y eventualmente infinitos a la izquierda.

Si ustedes comprendieron, les será fácil comprobar que $1$ dividido por $3$ está representado por $...1313132_5$. un tiers

Para recordar

Para hacer los cálculos en $5$-ádico, es necesario :

  • conocer su tabla de cinco en todos los sentidos : ¿ $2$ veces cuánto termina en $3$ ? (respuesta $4$) ;
  • olvidar el orden y los signos ;
  • permitirse escribir los números infinitos a la izquierda. table de 5

El rincón de las pequeñas preguntas.

  • 1- Ver que se sabe hacer los cálculos también en otra base, rellenar el cuadro de la tabla de multiplicación de las cifras en base $7$ (conservar solo las unidades). table de 7
  • 2- Ustedes saben bien que cuando uno se permite escribir los números infinitos a la derecha, hay grandes problemas causados por escrituras del tipo $0,99999...$. En efecto, si uno escribe como $x$ ese número, entonces $10 \times x = 9,99999...$, y por lo tanto $10\times x -x =9$. Esto da $9\times x=9$, y por lo tanto $x=1=0,999999...$, esto es, dos escrituras diferentes para un mismo número. Lo mismo ocurre en base $5$, como en todas las bases : $0,444444..._5=1$.

Este problema no ocurre nunca con los números infinitos a la izquierda : los desarrollos son únicos. Basta con plantear la sustracción entre dos escrituras diferentes para comprobar que no se puede encontrar $0$. Las adiciones y sustracciones sobre números infinitos a la derecha son más delicadas que sobre números infinitos a la izquierda. Para calcular, uno ’’repone’’ los números de la derecha hacia la izquierda. En ese caso, es más natural completar a la izquierda más que a la derecha. Se podrá notar que si uno conoce las tres primeras cifras (partiendo de la derecha, por supuesto) de dos números sin nada después de la coma (enteros 5-ádicos), entonces se conoce las tres primeras cifras de su suma, de su producto o de su cociente. Para los números infinitos a la derecha comprendidos entre $0$ y $1$, no se tiene el análogo al revertir : la reserva viene a perturbar...

  • 3- Se llamará raíz cuadrada de un número $y$, a un número $x$ tal que
    $x\times x =y$. Verifiquemos que $2$ no tiene raíz cuadrada en los $5$-ádicos. Basta con comprobar que sobre la diagonal en la tabla de multiplicación de las cifras, solo se encuentra $ 0,~ 1$ o $4$. No hay $2$ ni $3$. Por el contrario, se puede calcular una raíz cuadrada de $2$ en los $7$-ádicos. Basta con calcular a tientas, cifra por cifra. Para el primero, hay dos posibilidades :
    $3$ o $4$. En efecto : $3\times 3=12_7$ y $4\times 4=22_7$. Para las otras cifras, una vez que se ha hecho la primera elección, hay unicidad. Se encuentra $...213_7$ o $...454_7$, y se notará que la suma de esos dos números es nula (son opuestos uno al otro). Este método es exactamente el método de Newton descrito por Tan Lei en su artículo. une racine carrée
  • 4- Reconocer la fracción : $q=...131313_5$, es decir, encontrar dos naturales tales que la división de uno por el otro dé ese número. Se puede calcular fácilmente $q-100_5\times q = 13_5$ y por lo tanto se obtiene
    $-44_5 \times q = 13_5$. Se puede simplificar, ya que $44_5=3_5 \times 13_5$ . Se encuentra por lo tanto $q=-\frac 1 3$. Esto es muy coherente con el $\frac 13$ encontrado más arriba.
  • 5- ¿Por qué la división que lleva a los números infinitos a la izquierda ya no funciona cuando se utiliza una base que no es un número primo ? Por ejemplo, si uno tiene la desafortunada idea de elegir $10$, en las líneas o las columnas correspondientes a $2$ o $5$, no encuentra todas las cifras.
    Trate de responder a la pregunta : ¿$2$ veces cuánto termina en $3$ en base $10$ ?

¡Les dije que eso no funcionaría en base $10$ ! Uno habría podido considerar la base $2$ o $3$ en lugar de la base $5$, pero la escasez de cifras habría generado confusión. Más generalmente, ustedes han comprendido que la elección de un número primo es necesaria para poder hacer todas las divisiones. Se eligió $p=5$ ya que es un número primo ni tan grande ni tan pequeño, y que adicionalmente es el número de dedos de la mano.

table de 10

  • 6- Se ha visto en un ejemplo que los números periódicos a partir de un cierto rango eran fracciones. La recíproca es también verdadera : los racionales son periódicos a partir de un cierto rango. Se podrá tratar de verificarlo con un ejemplo. Así se tendrá una idea de demostración en general.

¿Muchas clases de números ?

Lo que acabamos de describir es un conjunto de números que es más grande que el conjunto de todos los números racionales, en el cual todas las operaciones $+~~-~~\times ~~\div$ son posibles. Este conjunto es incluso estrictamente más grande. Contiene también números cuyos desarrollo es infinito a la izquierda, no periódico a partir de un cierto rango. Este conjunto es llamado cuerpo de los números $5$-ádicos, y se nota como ${\bf Q}_5$. Más generalmente, ${\bf Q}_p$ es el cuerpo de los números $p$-ádicos (para otra elección de número primo $p$), un ejemplo de cuerpo local.

Existe otro cuerpo que contiene todas las fracciones : es el conjunto de los números infinitos a la derecha. Se le llama cuerpo de los reales, y se nota como ${\bf R}$. Se puede mostrar que, en un cierto sentido, no hay más que esas dos maneras de completar el cuerpo de las fracciones. Se aprovecha esas diversas maneras de completar en algunos teoremas que muestran que las ecuaciones poseen soluciones entre los números racionales. Para algunos sistemas de ecuaciones polinomiales, si se demuestra la existencia de soluciones en los cuerpos $p$-ádicos y en los reales, entonces habrá también en los racionales. Se dice que esos sistemas verifican el principio de Hasse.

¿Se hace geometría con eso ?

Estos dos cuerpos sirven de base para construir objetos geométricos de naturalezas a priori muy diferentes. Con el cuerpo de los reales se puede, por ejemplo, fabricar círculos y estudiar el conjunto de las transformaciones que conservan esos círculos (el grupo de las rotaciones que se anotará como $G_0$).

Todo el problema de la geometría se encuentra ahí : hay que partir de un círculo y estudiar sus transformaciones, o bien definir por procedimientos algebraicos un grupo $G_0$ y procurar hacerlo actuar en un buen espacio por inventar (el círculo es un buen espacio en este ejemplo).

Con los cuerpos $p-$ádicos, se construye los grupos. Para una introducción a los grupos, vea el artículo de Gilbert Levitt en este sitio. Por ejemplo, el conjunto $G=\lbrace f:x \mapsto ax+b\rbrace ~$ de las transformaciones afines del cuerpo $ {\bf Q}_p$ es un grupo. El producto de $f:x \mapsto ax+b ~$ por $~~g:x \mapsto cx+d ~~$ da $~f\circ g:x \mapsto ac~x+(b+ad)$.

Jacques Tits mostró (hace 30 años) que buenos objetos geométricos asociados a grupos como $G$ son árboles o más generalmente, espacios llamados edificios. La siguiente figura representa un ’’círculo’’ $p$-ádico. Se trata de un edificio particular.

Al dar una definición general de esos espacios, Tits abrió todo un universo que no se limitaba sólo al estudio de los grupos derivados de construcciones algebraicas a partir de los cuerpos ${\bf Q}_p$. Aparecieron geometrías exóticas. Todavía no se las comprende muy bien...

En 2008 Jacques Tits recibió el premio Abel por sus trabajos en teoría de grupos. En especial, él mostró numerosos teoremas acerca de los edificios. Pero aún quedan muchas preguntas acerca del tema. Las idas y vueltas entre números p-ádicos y edificios aún no han dado todos sus frutos.

  • Un ejemplo del artículo fundador sobre el tema :

François Bruhat & Jacques Tits « Schémas en groupes et immeubles des groupes classiques sur un corps local. » Bull. Soc. Math. France 112 (1984), no.2, 259-301.

Article original édité par Michèle Audin

Notes

[1Escribir los números a la izquierda significa poder pedir prestado siempre más.

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Pour citer cet article :

Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas — «¿Y si los números pudieran ser infinitos a la izquierda de la coma en lugar de la derecha...?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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