Números primos, ahora y siempre

El 16 junio 2010  - Escrito por  Pierre de la Harpe
El 2 agosto 2019  - Traducido por  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Artículo original : Nombres premiers, encore et toujours Ver los comentarios
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Los números primos son como Antígona, Edipo o los juegos olímpicos: ya eran del interés de Euclides, Sófocles y Píndaro, y siempre están de actualidad (¡cuántas historias!; vea por ejemplo [1]). Así, después de una cuasi infinidad de libros que les han sido dedicados, un matemático de la Costa Este de Estados Unidos publicó recientemente uno nuevo, con la idea de que lo leyeran sus hijos [2].

El libro de Richard Schwartz se titula ’’You can count on monsters’’, es decir, ’’Usted puede contar con los monstruos’’ (en el sentido como uno cuenta con los dedos). Las frases que contiene están en inglés, pero la mayoría de las páginas son estrictamente sin texto, con algunas cifras y muy lindos dibujos.
A cada número de $1$ a $100$ le corresponde una página doble. A la izquierda, el número, acompañado por una cantidad igual de círculos de colores vivos, y un diagrama que indica si tiene lugar la factorización en números primos. Por ejemplo, la página izquierda para $35 = 5 \times 7$.

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’’Si tiene lugar’’: esto significa que el número no es primo (ni es el número $1$), ya que por definición un número primo no se factoriza. A la derecha, un dibujo imaginado por el autor para encarnar el número. Lo que él llama un monstruo es un dibujo que corresponde a un número primo, por ejemplo, $3$:

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o $31$:

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y de hecho, a cada uno de los veinticinco números primos menores a $100$. Para un número compuesto, por ejemplo $14 = 2 \times 7$, el dibujo de la derecha representa al monstruo de $7$ (ahí, los niños de siete a setenta y siete años tal vez se diviertan contando los $7$ lados de la cabeza, o los $7$ pelos, cinco cortos y dos largos, o los $7$ dientes, ....) tratando de comerse al monstruo de $2$ (con sus dos enormes ojos).

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El libro termina con la explicación de un método muy clásico para reconocer si un número $n$ es primo: se supone (es un argumento que funciona por etapas) que uno ya ha elaborado la lista de números primos menores a la raíz cuadrada de $n$, y basta con verificar que $n$ no es divisible por ninguno de ellos. Por ejemplo $97$ es un número primo, ya que es inferior al cuadrado de $11$ y no es divisible por ninguno de los números primos $2, 3, 5, 7$. Es el método llamado de la ’’criba de Erastótenes’’ [3], ilustrado por Schwartz con hermosos colores.

Pero algunas veces se puede proceder distinto. Aquí hay un pequeño truco [4] de John Tate [5], para mostrar que los cuatro números de la notable secuencia $101, 103, 107, 109$ son todos primos [6]. Si uno conoce el principio de la lista de los números primos, que es $2, 3, 5, 7, 11$, basta con mostrar que cada uno de esos cuatro números tiene dos propiedades: por un lado, es más pequeño que $11 \times 11 = 121$, de modo que, si fuera compuesto, necesariamente sería un múltiplo de uno de los números $2, 3, 5, 7$; por otra parte, es igual a $3 \times 5 \times 7 = 105$ más o menos $2$, o $2 \times 2 = 4$, de modo que no puede ser un múltiplo de uno de los números $2, 3, 5, 7$.

El método se aplica a otros números primos. Por ejemplo, para los números primos entre $6$ y $25$:

$7 = 2 \times 2 + 3$ (o $3 \times 3 - 2$),

$11 = 2 \times 2 \times 2 + 3$, lo que se escribe más legiblemente $11 = 2^3 + 3$,

$13 = 2^2 + 3^2$ (o $2^4 - 3$),

$17 = 2^3 + 3^2$,

$19 = 2^4 + 3$,

$23 = 2^5 - 3^2$.

Uno puede elaborar listas análogas de números primos entre $26$ y $49$, luego entre $50$ y $121$, entre $122$ y $169$, entre $170$ y $289$, etc. Por ejemplo: el cálculo $277 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 - 11 \times 13 < 17^2 = 289$ muestra que $277$ es primo. Para el lector tentado por el ejercicio: ¡buena suerte! Para los demás: un último cuadro de Richard Schwartz que recapitula las páginas de la derecha.

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Notas

[1El artículo de Pierre Colmez en Paisajes Matemáticos: Historias de números primos.

[2Vea aquí las referencias exactas de ’’You can count on monsters’’ y acá para otros libros del mismo autor. Gracias a Richard Schwartz, quien generosamente me proveyó los archivos con los dibujos reproducidos en esta nota.

[3Vea por ejemplo aquí.

[4Gracias a Jean-Pierre Serre por haberme contado esto una vez, entre el postre y el café.

[5Laureado en 2010 con el premio Abel, ’’por el alcance y el carácter perdurable de su influencia en la teoría de los números’’; vea la cita.

[6Se trata por lo tanto de cuadrupletos, dicho de otra forma, una serie de cuatro números primos de la forma $(n-4, n-2, n+2, n+4)$.
Hay otras series similares, por ejemplo $(5, 7, 11, 13)$, $(11, 13, 17, 19)$, $(191, 193, 197, 199)$, y $(1871, 1873, 1877, 1879)$. Se puede conjeturar que hay una infinidad de tales series, por analogía con la conjetura clásica llamada de los ’números primos gemelos’, según la cual existe una infinidad de números primos $p$ tales que $p+2$ sea igualmente primo: todo el mundo lo cree, pero nadie sabe demostrarlo. Vea Wikipedia. Para datos más técnicos, vea también una de las entradas pertinentes en la enciclopedia de las secuencias de enteros u otra página de Wikipedia (ambas en inglés).

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Para citar este artículo:

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Números primos, ahora y siempre» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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