Números y figuras, definiciones y enunciados

Le 1er juillet 2017  - Ecrit par  Jean-Pierre Kahane
Le 25 mai 2021  - Traduit par  Edgard Araya, Andrés Navas, Pilar Garcés
Article original : Nombres et figures, définitions et énoncés Voir les commentaires
Lire l'article en  

Este texto fue elaborado para una conferencia para la Academia de Ciencias por la Semana de Matemáticas 2017 como parte de una acción propuesta por la Academia de París.

’’$92+9=103$’’ (sic) se lee de igual forma en todas partes, pero esto merece un comentario. Todo el mundo conoce la definición de una esfera ; esto amerita un comentario aún más extenso. ¿De dónde provienen los conceptos matemáticos y los términos que los expresan ? Lo discutiremos y veremos varios ejemplos, incluido el de los fractales. Por cierto, no nos abstendremos de observaciones, construcciones y demostraciones.

Es una alegría para mí ver a tantos estudiantes de secundaria en esta sala de reuniones de la Academia de Ciencias. Ya el martes pasado, la Academia había recibido bajo la Cúpula a 140 estudiantes, todos miembros del Liceo Condorcet, los que participaron de una sesión dedicada a Condorcet. Él fue un gran filósofo del siglo XVIII, que estuvo muy involucrado en la educación. En uno de sus discursos, decía :

’’Las primeras nociones matemáticas deben formar parte de la educación infantil. Las cifras y las líneas hablan más de lo que cree su imaginación, y es una forma segura de ejercitarla sin perderla.’’

Las cifras son los números, y las líneas son las figuras. Números y figuras, es justamente de lo que quiero hablarles.

Primero los números. Dos mil diecisiete se escribe en español con dieciséis letras y dos espacios entre ellas ; es decir, con 18 símbolos. Con la escritura decima se usan cuatro símbolos : 2, 0, 1, 7. Todos concuerdan en que esto economiza escritura y pensamiento. A modo de broma, propuse en el resumen de esta conferencia la fórmula
[92 + 9 = 103.]

Lo importante es que todo el mundo la entienda de la misma forma, independiente del idioma en que se pronuncie. La escribí así no porque esté mal, sino porque todos ven que está mal.

La escritura decimal es un lenguaje universal.

Y, sin embargo, hay muchas otras formas de escribir los números, como bien saben : la escritura duodecimal, en base doce, o la escritura binaria, en base dos, por ejemplo. La elección de la base diez ha sido la de los chinos desde la Antigüedad, y la de los eruditos europeos desde el flamenco Simon Stevin, en el siglo XVI, y finalmente la de los franceses desde la Revolución y la adopción del sistema métrico. La primera lección del gran matemático Laplace en la Escuela Normal del año III, precursora de la Escuela Normal Superior, estuvo dedicada a la numeración decimal y su comparación con otros sistemas de numeración, en particular el sistema binario. Hoy en día el sistema binario es fundamental en la Informática, y juega un papel central en nuestra existencia, mientras que el sistema en base doce todavía se usa en algunos comercios ; la base sesenta, en tanto, se utiliza para medir ángulos y en la medición del tiempo.

Entonces, la universalidad del sistema decimal es un fenómeno histórico, y quiero mostrarles que las matemáticas que practicamos son resultado de la historia, aunque a veces nos parezca la revelación de verdades eternas.

¿Qué podemos decir de la noción de número, independiente de su escritura ? No hay una respuesta matemática a esta pregunta. Podemos esquivarla dando un nombre, una letra, al conjunto de los números naturales. Si lo llamamos $\mathbf{N}$, los números naturales son los elementos de $\mathbf{N}$.

Pero, ¿de dónde viene $\mathbf{N}$ ? ¿Acaso $\mathbf{N}$ es un objeto real para explorar y descubrir en un mundo aparte del nuestro ? Asumamos por un momento que sí. Allí descubrimos que $\mathbf{N}$ es la base de operaciones como la suma y la multiplicación, y que ciertas partes de $\mathbf{N}$ ameritan una exploración específica ; estoy pensando en el conjunto de números primos y los maravillosos descubrimientos y conjeturas que encierran. Espontáneamente, los matemáticos que trabajan en un dominio que les es conocido, bien saben de este estado de ánimo : el dominio no es lo que construyen después de otros, sino lo que exploran. Curiosamente, esta actitud se llama realismo, aunque rompa con nuestra realidad cotidiana. Se trata de considerar como reales a los objetos que estudiamos. El mundo de los objetos matemáticos aparece como un mundo exterior a la humanidad. Un muy famoso filósofo griego de la Antigüedad, Platón, tenía una visión para esto. Plantea la existencia de la humanidad como si estuviera encerrada en una caverna. Allí ven pasar sombras, las que fueron asumidas como la realidad. Para Platón, sin embargo, la realidad se sitúa fuera de la caverna, y solamente los matemáticos y filósofos pueden acceder a ella. Espontáneamente, los matemáticos son platonistas.

Mas por el contrario, podemos ver las abstracciones matemáticas, que comienzan por la de los números naturales, como el resultado de una lenta elaboración a partir de los conocimientos y las prácticas de la sociedad humana.

Por ello, $\mathbf{N}$ no vendría, sino que se construiría a lo largo de la historia. Somos menos talentosos que algunos animales para distinguir mayor o menor cantidad, si hay más huevos aquí o allá. Pero sabemos contar, lo que compensa nuestros defectos y nos permite ir más allá. Sabemos sumar uno, y con ello descubrimos que no hay un número más grande que todos los demás : esa es una primera visión del infinito.

Podemos teorizar sobre esta construcción, y es la primera axiomática en sentido moderno que aparece en las Matemáticas. Desde este enfoque, que es el mío, los objetos matemáticos son construcciones. Son tan sólidas, que podemos creer que son eternas y que existen desde siempre ; pero estas construcciones son retomadas y reconstruidas constantemente. Euclides es más sólido que el Partenón, pero nuestra visión de Euclides ha cambiado con el tiempo ; los números enteros de Euclides, y en particular los primos de Euclides, tienen un sentido más enriquecido ahora que en su época. La Lógica matemática, que para nosotros proviene de Aristóteles, ha sido completamente renovada por la Informática. La imagen de las matemáticas como una maravillosa construcción humana no me parece que disminuya su importancia ; al contrario.

Voy a pasar a las figuras geométricas y comenzaré por la esfera. Siguiendo el uso matemático actual, la esfera es para mí una superficie y no un volumen. Una bola, una pompa de jabón, el borde de una bola de billar, son imágenes familiares de esferas. Y todos conocen la definición de una esfera : es el conjunto de puntos del espacio que se encuetran a una distancia dada de un punto fijo, que llamamos el centro de la esfera. Pensemos un poco en esto. Podemos reconocer una esfera viéndola, sintiéndola, haciéndola rodar y jugando con ella. Pero, ¿quién ha visto el centro de una esfera ? La esfera definida a partir de su centro es una completa abstracción matemática. Es una abstracción maravillosa : simple y fácil de comprender, y es un buen punto de partida para desarrollar la teoría de la esfera y evidenciar sus propiedades caracteristicas en términos de distancias, ángulos o curvatura. Podríamos ver, en cambio, que por todo punto de la esfera pasa un diámetro que es perpendicular a ella, lo que es una propiedad característica. Así, podríamos definir la esfera como el conjunto de los puntos por los que pasa un segmento dado que es perpendicular a ella. Podríamos desarrollar la teoría a partir de esta definición, lo que sería más complicado y menos natural.

Hay una interesante discusión sobre la esfera, el círculo y el plano, entre un profesor y un alumno de la primera lección de Geometría impartida en la Escuela Normal del año III, en 1794, y la conocemos porque las lecciones y las discusiones que siguieron después fueron transcritas. Les contaré un poco. El profesor era Gaspard Monge, uno de los grandes matemáticos de la época, y el alumno era Joseph Fourier, que llegaría a ser un gran matemático de la siguiente generación.

Fourier presenta una objeción a las definiciones dadas por Monge : está de acuerdo con la definición de esfera que he dado, a partir del centro y el radio ; pero critica la definición de círculo, que Monge definió de la misma manera pero como una figura plana. Dado que Monge no definió el plano, Fourier lo reprocha al proponer una definición de plano : es el conjunto de puntos que están a igual distancia de dos puntos dados en el espacio.

Monge aprecia el ingenio del comentario de Fourier, pero cree que no tiene lugar al comienzo de su lección de Geometría. Él muestra que podríamos dar otras definiciones para la esfera, tal como acabo de hacer, y agrega al respecto :

’’Es cierto que, para definir correctamente un conjunto de objetos, debemos exponer una propiedad que sea común a todos esos objetos y solo a esos objetos. Pero esto no es suficiente : también es necesario escoger, entre todas esas propiedades, la que sea más simple y más fácil de concebir.
Finalmente, la propiedad que sirva como base para la definición debe ser fecunda y debe conducir de la forma más directa a otras propiedades más complicadas que sean importantes de descubrir o de enseñar.’’

Simplicidad y fecundidad : Monge nos entrega las propiedades clave para una buena definición.

Antes de dejar la esfera, vuelvo a Platón. Cuando habla de poliedros regulares, como el cubo, dice de la esfera que es la figura más semejante a sí misma. Esto desafió a varios traductores, pues da la impresión que toda figura es semejante a sí misma. Pero la expresión utilizada por Platón tiene un sentido más profundo. Los poliedros regulares tienen simetrías, como las rotaciones en torno a su centro que las devuelven sobre sí mismas, y estas rotaciones forman un grupo. Ese grupo es diferente para el cubo y para cada uno de los otros poliedros regulares. El más rico es el del dodecaedro que tiene doce caras. Para la esfera, toda rotación la devuelve sobre sí misma : tiene el máximo de simetrías, por lo que es la figura más semejante a sí misma.

Unas palabras más sobre los poliedros regulares de Platón. Son cinco, y los elementos fundamentales de la química de Platón son fuego, aire, agua y tierra. El fuego es representado por el tetraedro, el aire por el octaedro y el agua por el icosaedro, notando que las caras de los tres poliedros son triángulos equiláteros ; aparte, la tierra es representada por el cubo, cuyas caras son cuadradas y no triangulares.

PNG - 2 ko
Patron d’un cube et cube
Patrón de un cubo y cubo

La química de Platón es la transformación de estos cuatro poliedros entre sí. Pero hay un poliedro que no representa a nada : el dodecaedro. A éste, Platón le asigna un rol superior : servir de modelo para el Universo. La interpretación es clara : el Universo es esférico, y el dodecaedro es un buen modelo para la esfera.

¿Cómo ver que es un buen modelo ? Simplemente mirando un balón de fútbol, tal como se fabricaban en mi niñez : doce piezas pentagonales, cosidas e infladas por dentro.

JPEG - 18.4 ko
Ballon de football fait de pièces pentagonales
Un balón de fútbol hecho de piezas pentagonales

Y así es como, según Platón, describe Sócrates a la Tierra, justo antes de su muerte. Primero explica que es esférica, y luego cómo se vería desde el cielo :

’’En cuanto a cómo se vería esta tierra, si la miraras desde arriba, sería más o menos la de un globo abigarrado, como bolas de doce piezas.’’

En la Atenas de esa época, loos artesanos del cuero debían fabricar balones muy similares a nuestros balones de fútbol. Y antes de que se convirtieran en objetos matemáticos, los dodecaedros debieron ser bastante familiares para los niños que jugaban con esos balones.

Ahora dejo a Platón, pero no aún a los poliedros y la esfera. Podemos construir la esfera usando doce piezas pentagonales, como acabamos de ver. Pero si en vez de doce pentágonos solamente, agregamos veinte hexágonos a los doce pentágonos, se obtiene una esfera más cercana a su definición matemática. Esto fue lo que hizo el arquitecto Fuller al construir un inmenso domo para la exposición universal de Montreal en 1966, construcción que luego se conoció como fullereno. Se han descubierto en el cosmos y luego construido en un laboratorio, moléculas de carbono que tienen la forma de un fullererno. Esas moléculas están formadas por sesenta núcleos de carbono ocupando los vértices de un fullereno, y ellos son de gran interés en Química. Así, la Química moderna se une a las visiones fantásticas de Platón sobre la constitución del Universo.

JPEG - 137.7 ko
Ballon de football fait de pièces pentagonales et hexagonales
UBalón de fútbol hecho de piezas pentagonales y hexagonales

En la Escuela Normal del año III y en respuesta al alumno Joseph Fourier, Gaspard Monge insistió en las dos exigencias para tener una buena definición : debe ser simple, fácil de enunciar, y eficaz, dando un buen punto de partida para establecer la teoría.

De hecho, en un curso de matemáticas, comenzamos por las definiciones para desarrollar la teoría. La definición es el punto de partida. Pero históricamente, esto es un resultado. En mi opinión, las nociones matemáticas no provienen de un mundo donde se busca descubrirlas, sino de un esfuerzo por hacer simples, generales y entendibles los resultados acumulados por generaciones. Mi ejemplo favorito es una frase de tres palabras que expresa un resultado profundo y sutil. Este resultado fue obtenido a principios del siglo XX por matemáticos que requerían un largo discurso para enunciarlo. Algunos años más tarde, se definieron dos nociones, llamadas ’’$L^2$’’ y ’’completo’’.

Algunos de ustedes las conocerán más tarde, pero no se necesita comprenderlas para apreciar en qué se ha convertido el largo discurso. Se reduce a tres palabras :

$L^2$ es completo.

Toda la dificultad y la sutileza de las proposiciones ha pasado a las definiciones. Con buenas definiciones, tenemos buenos enunciados.

Pero la simplicidad de las definiciones y los enunciados es engañosa. Es el resultado de un trabajo de destilación, o sublimación, de todo lo que aportan los matemáticos, y muchos otros, a lo largo de los siglos. También debemos tomar las definiciones como elixires de pensamiento, y tomarnos el tiempo para asimilarlas y descubrir sus consecuencias sobre las matemáticas que involucran. Históricamente, es una parte de esas consecuencias la generación de los puntos de partida de las teorías. En la educación, el orden histórico se invierte, en lo que los didactas llaman la transposición didáctica. Si nos quedamos con la definición, se pierde la riqueza de la noción.

Es tiempo de demostrar un teorema : en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los lados restantes. Así fue como Clairaut lo enseñó a la marquesa de Châtelet.

PNG - 15.4 ko
Cas particulier du théorème de Pythagore
Caso particular del teorema de Pitágoras<>

Partiendo de dos cuadrados iguales y adyacentes, trazamos dos diagonales que forman un ángulo recto, y las completamos para formar un cuadrado ; el área de ese cuadrado será la suma de las áreas de los dos cuadrados iniciales. Esta es la demostración del teorema de Pitágoras en el caso de un triángulo rectángulo isósceles, famosa en los tiempos de Platón. El resto se expresa mejor con figuras que con palabras, pero con esto trato de dar la idea.

PNG - 10.7 ko
Preuve du théorème de Pythagore
Prueba del teorema de Pitágoras

En lugar de dos cuadrados adyacentes e iguales, los tomaremos distintos, con sus lados horizontales superiores uno al lado del otro, formando un nuevo segmento ; tomaremos el segmento simétrico con respecto al punto medio del segmento anterior. El simétrico del lado largo y el lado exterior del cuadrado más pequeño forman un ángulo recto, por lo que serán los lados del triángulo a considerar. Al rotarlo en un ángulo recto en torno al vértice más bajo de su hipotenusa, se obtiene un nuevo triángulo que usaremos en reemplazo. Luego operamos de la misma manera con el triángulo rectángulo construido en el lado vertical exterior del triángulo grande y en el simétrico ya construido en el lado pequeño. Después de los reemplazos, la unión de los dos cuadrados iniciales se convierte en un cuadrado construido sobre la hipotenusa ; por tanto, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los lados del ángulo recto.

He escrito esta demostración usando palabras del lenguaje matemático cotidiano, pero se haría más comprensible al usar figuras y construcciones. En el lenguaje matemático, me parece conveniente incluir figuras.

Las figuras son como los símbolos o palabras, y las construcciones geométricas son como las frases construidas con las palabras. Ellas hablan de la imaginación, que es esencial en matemáticas. Si no se tiene cuidado, ellas también causan errores, y corregir los errores también es parte de la vida matemática.

Los triángulos rectángulos constituyen una fuente de construcciones interesantes. Con la ayuda de su altura sobre la hipotenusa, se pueden descomponer en dos triángulos semejantes.

PNG - 51 ko
D’un triangle à une figure fractale
De un triángulo a una figura fractal

Si repetimos esta operación indefinidamente y enumeramos apropiadamente a los triángulos anidados que se van obteniendo, obtenemos finalmente una curva que llena todo el triángulo rectángulo. La exploración de esta curva es un buen comienzo para la geometría fractal.

La curva que acabo de describir no tiene tangente en ningún punto. Este es uno de los objetos extraños que los matemáticos construyeron a fines del siglo XIX. El primero fue una función continua que no es derivable en ningún punto. En esa época, estas construcciones no gozaban de buena reputación. Charles Hermite, el matemático francés más grande de esa generación, dijo :

’’Me alejo con pánico y terror de la monstruosidad de las funciones continuas que no son derivables.’’

Lo dijo en serio, y los grandes matemáticos de la época estaban de acuerdo con él. Y sin embargo, esos monstruos comenzaban a aparecer en las matemáticas clásicas. Más claramente aún, aparecieron a principios del siglo XX con las probabilidades y las funciones que representan procesos aleatorios. El movimiento browniano dio un ejemplo de un fenómeno físico, el movimiento desordenado de partículas en suspensión sobre un líquido, que estaba representado válidamente por una función continua y no derivable en todo punto, y por una curva que no admite tangente en ningún punto. Tan pronto como se estudiaron sistemáticamente los procesos aleatorios, tales funciones y curvas aparecieron en gran número. Para una curva que llenaba un cuadrado, ¿era necesario decir que era de dimensión 2 y no de dimensión 1 ? Sí, y la teoría permitía dimensiones intermedias entre 1 y 2, y en general permitía dimensiones cuyo valor era un número real positivo, no necesariamente entero. La teoría data de 1919 y se debe a un gran matemático alemán, Felix Hausdorff, y juega un papel fundamental en lo que se convertiría en la geometría fractal.

La geometría fractal cambió por completo nuestra visión de los objetos matemáticos que se habían considerado monstruos y de los objetos de la naturaleza que no se habían estudiado matemáticamente. Esta teoría se debe a Benoît Mandelbrot, y data de la década de 1960. Benoît Mandelbrot nació en Polonia y falleció en los Estados Unidos, pero se formó en Francia, fue y siguió siendo francés, e insistiré en la importancia del francés como la lengua de las matemáticas que creó.

Primero el término fractal. Se presentó en varias etapas : primero se habló de dimensión fractal en lugar de dimensión de Hausdorff, llamada más comúnmente dimensión fraccionaria. Fue una innovación modesta que no impresionó a los matemáticos. La etapa decisiva fue la publicación en 1975 del libro Los objetos fractales. El título completo es Los objetos fractales : formas, azar y dimensión. Inmediatamente vemos la relación con la geometría y las probabilidades. La traducción al inglés se publicó en 1977, y el título se condensó como Fractales : formas, azar y dimensión. Finalmente, apareció en francés el sustantivo femenino, ’’las fractales’’, acompañado del adjetivo fractal. Por ejemplo, Mandelbrot habla de ’’la geometría fractal de la naturaleza’’.

Esta expresión habla por sí sola y da cuenta adecuada de las observaciones dispersas realizadas anteriormente sobre las costas de Gran Bretaña o el curso del río Vístula. Las peculiaridades matemáticas se convierten en parte de una teoría como tal.

El aporte de Benoît Mandelbrot a las matemáticas es reconocido de forma unánime en la actualidad. Está apegado a una visión de conjunto que fue personal, y también quiero enfatizarlo, al uso del lenguaje y sus invenciones verbales.
Aquí hay un ejemplo personal que viví. Con Raphaël Salem, habíamos estudiado objetos y curvas extrañas ; una de esas curvas representaba lo que llamamos ’’la función de Lebesgue construida sobre el Conjunto Triádico de Cantor’’. Por supuesto, eso significa algo solamente para unos pocos matemáticos. Pero Benoît Mandelbrot la llamó ’’la escalera del diablo’’. Es un hallazgo verbal que llama de inmediato la atención.

PNG - 11 ko
« L’escalier du diable »

De igual forma, ’’el copo de nieve’’ es un nombre más llamativo que ’’la curva de Von Koch’’. No voy a multiplicar los ejemplos : basta con leer a Mandelbrot para ser consciente de un verdadero genio verbal.

Y su influencia en este aspecto se extendió a algunos de los que trabajaron en los objetos matemáticos que él mismo creó. El ejemplo más célebre es el conjunto de Mandelbrot.

Por lo que diré al respecto, no es necesario conocer su definición ; la doy de todas formas, más para los profesores que para los estudiantes. Es una parte del plano de números complejos, formada por puntos $c$ tales que la función $z^2+c$, aplicada sucesivamente a $0$ y luego a la imagen de $0$ que es $c$, y de nuevo a la imagen de $c$ y así sucesivamente, origina una secuencia de puntos que están a una distancia finita de $0$. Es un ejercicio accesible visualizar el conjunto de puntos $c$ situados sobre la recta real. Pero el conjunto de puntos $c$ complejos ha sido y sigue siendo objeto de estudios difíciles. Mandelbrot dio imágenes del mismo que fueron refinadas con el tiempo, usando gráficas computacionales. El que dilucidó las propiedades esenciales, es decir, si el conjunto era o no de una sola pieza, es un matemático francés, Adrien Douady, que fue mi colega en Orsay. Él también tenía ingenio para el lenguaje, y sus hallazgos permanecieron solamente en la memoria de quienes hablaron con él. Al principio, el conjunto de Mandelbrot estaba representado por una hermosa parte central, adornada con protuberancias y pequeñas piezas dispersas.

PNG - 5.1 ko
PNG - 169.8 ko

Para Douady, estas piezas dispersas eran ’’excrementos de mosca de Mandelbrot’’. Pero el estudio teórico, así como los dibujos más elaborados, mostraron la existencia de hilos que conectaban estas pequeñas piezas, que por tanto dejaban de estar dispersas. Así, para Douady, se convirtieron en ’’gotas de rocío sobre una telaraña’’.

Concluiré sobre esto. Las matemáticas son una ciencia en movimiento, que forja sin cesar nuevos objetos y un nuevo lenguaje. Pero vemos, con Douady, que los matemáticos usan el lenguaje común para hablar de ello. Y también vemos que, para usar la fórmula de Condorcet, los números, las líneas, y todas las matemáticas, hablan más de lo que uno cree a la imaginación, que está siempre alerta.

Post-scriptum :

Este texto pertenece al archivo temático « Matemáticas y lenguajes.

Article original édité par Jérôme Germoni

Partager cet article

Pour citer cet article :

Andrés Navas, Edgard Araya, Pilar Garcés — «Números y figuras, definiciones y enunciados» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Commentaire sur l'article

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Dossiers

Cet article fait partie du dossier «Mathématiques et langages» voir le dossier