Octobre 2018, 2e défi

Le 12 octobre 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 41

Déterminer l’entier $n$ le plus petit pour lequel
\[(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)\cdots (n^2-1)\]
est le carré d’un nombre entier.

Solution du 1er défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est : $8\,cm$.

Soient $a$ et $b$ les longueurs des côtés du triangle en
centimètres. On applique le théorème de
Pythagore, sachant que son hypoténuse mesure
$\sqrt{a^2+b^2}$. Par conséquent, la somme des carrés des trois
côtés est égale à $2a^2+2b^2=578$, et $a^2+b^2=289=17^2$.

L’hypoténuse du triangle mesure donc $17\,cm$. Comme le
périmètre mesure $40\,cm$, on obtient que $a+b+17=40\,cm$, soit $a+b=23\,cm$. Alors, $2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=23^2-289=240$,
d’où $ab=120$.

On en déduit que \[ \begin{eqnarray} a(23-a) & = & 120\\ a^2-23a+120 & = & 0\\ (a-8)(a-15) & = & 0. \end{eqnarray} \]

Par conséquent, les côtés du triangle mesurent $8\,cm$ et $15\,cm$. Le plus petit côté du triangle mesure $8\,cm$.

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Octobre 2018, 2e défi

le 12 octobre 2018 à 09:36, par ROUX

Une remarqu(able)e : dans le programme de 3ème, dans la colonne connaissances et compétences ne figure pas l’apprentissage des identités remarquables (en dehors du fait que dans cette colonne les verbes connaitre et apprendre ne sont pas non plus présents...) : on se borne à en comprendre le fonctionnement.
Comprendre le fonctionnement d’une identité remarquable est une absurdité.
On peut imaginer que les Politiques touchent à tout mais sans doute quand-même pas à un programme de mathématiques (en revanche, je les vois bien toucher à un programme d’histoire ou de français...).
Ce sont donc bel et bien des mathématiciens (et je ne vais pour une fois pas faire d’écriture inclusive car je souhaite ardemment ne pas inclure les femmes là-dedans) qui ont laissé filer l’apprentissage de ces identités.
Or, ces identités ne sont remarquables que pour être remarquées, et si on ne le connait pas, on ne peut pas les remarquer...
Perte de sens ou absence de sens : je n’ai jamais entendu un.e professeur.e.s de mathématiques dire qu’elles étaient remarquables pour être remarquées...
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