Octobre 2018, 2e défi

Le 12 octobre 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 41

Déterminer l’entier $n$ le plus petit pour lequel
\[(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)\cdots (n^2-1)\]
est le carré d’un nombre entier.

Solution du 1er défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est : $8\,cm$.

Soient $a$ et $b$ les longueurs des côtés du triangle en
centimètres. On applique le théorème de
Pythagore, sachant que son hypoténuse mesure
$\sqrt{a^2+b^2}$. Par conséquent, la somme des carrés des trois
côtés est égale à $2a^2+2b^2=578$, et $a^2+b^2=289=17^2$.

L’hypoténuse du triangle mesure donc $17\,cm$. Comme le
périmètre mesure $40\,cm$, on obtient que $a+b+17=40\,cm$, soit $a+b=23\,cm$. Alors, $2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=23^2-289=240$,
d’où $ab=120$.

On en déduit que \[ \begin{eqnarray} a(23-a) & = & 120\\ a^2-23a+120 & = & 0\\ (a-8)(a-15) & = & 0. \end{eqnarray} \]

Par conséquent, les côtés du triangle mesurent $8\,cm$ et $15\,cm$. Le plus petit côté du triangle mesure $8\,cm$.

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Octobre 2018, 2e défi

le 15 octobre 2018 à 10:20, par Poss Jean-Louis

Magistral ! Bravo et merci.

Ceci dit les équations de Pell ne sont pas connues du lycéen moyen. Je propose ci-dessous une solution plus élémentaire.

On cherche $n$ tel que $2n(n + 1)$ est un carré. On peut le faire en utilisant brutalement la méthode d’essais et erreurs, mais c’est fastidieux et peu motivant. On peut améliorer cette méthode en distinguant deux cas.

— $n$ pair

On pose $n = 2p$. On veut alors que $p(2p+1)$ soit un carré. Or $p$ et $2p+1$ sont premiers entre eux, donc $p$ et $2p + 1$ sont tous les deux des carrés, c’est-à-dire que l’on a $n = 2m^2$. Dans ce cas $2n$ est un carré et il suffit de vérifier que $(n+1)$ en est un.

Pour $m = 1$ on a $n = 2$ et $n + 1 = 3$ : ce n’est pas un carré.

Pour $m=2$ on a $n=8$ et $n+1=9=3^2$ : $n=8$ est la plus petite solution paire.

— $n$ impair

On pose $n = 2p+1$. On veut alors que $(2p+1)(p+1)$ soit un carré. Or $(2p+1)$ et $(p+1)$ sont premiers entre eux, donc sont tous les deux des carrés, c’est-à-dire que l’on a $n = m^2$. Il suffit de vérifier que $2(n + 1)$ est un carré.

Pour $m = 2$ on a $n = 4$ et $2(n + 1) = 10$ : ce n’est pas un carré.

Pour $m = 3$ on a $n = 9$ et $2(n + 1) = 20$ : ce n’est pas un carré.

La plus petite valeur de $n$ telle que $2n(n + 1)$ soit un carré est $n = 8$.
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