Un défi par semaine

Octobre 2018, 4e défi

El 26 octubre 2018  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 43

Les racines de l’équation quadratique
$x^2+px+q=0$ sont entières. Si $p+q=198$, quelles sont les valeurs
possibles de la paire $(p,q)$?

Solution du 3e défi d’octobre :

Enoncé

La réponse est : $659$, $660$, $661$, $662$, $663$ et $664$.

Comme aucun des six entiers positifs consécutifs
n’est divisible par $7$, ceux-ci sont de la forme $7n+1$, $7n+2$,
$\dots$, $7n+6$, avec $n$ un entier positif quelconque. Leur somme est
$S=42n+21=21(2n+1)$.

Pour que $S$ soit le carré d’un nombre entier, on doit
avoir $2n+1=21k^2$ où $k$ est un nombre impair.

Pour que $S$ soit un nombre à quatre chiffres, on doit avoir
les inégalités suivantes $1000\leq 21^2k^2\leq 9999$, d’où $2 < k^2 < 23$.

Ceci n’est possible que si
$k^2=9$. Donc $2n+1=21k^2=189$ et $n=94$. Par conséquent,
les nombres recherchés sont: $659$, $660$, $661$, $662$, $663$ et $664$.

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Octobre 2018, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Comentario sobre el artículo

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  • Octobre 2018, 4e défi

    le 26 de octubre de 2018 à 09:45, par Mario

    En prenant en compte les racines entières négatives, on obtient également la solution (p,q) = (198,0).

    Répondre à ce message

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