Un défi par semaine
Octobre 2019, 1er défi
El
4 octubre 2019
- Escrito por
Ana Rechtman
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !
Semaine 40
«J’ai toujours eu 45 ans de plus que ton père» dit une grand-mère à son petit-fils.
«Mais aujourd’hui, les deux chiffres de mon âge sont exactement les mêmes que ceux de ton père. Et en plus nos deux âges sont divisibles par 9 !»
Quel âge a la grand-mère ?
Enoncé
La solution est $19$.
Construisons les premiers termes de la suite:
\[
\begin{eqnarray*}
X_3 = \left[X_2,X_1\right]+X_1 & = [95,19]+19= [19\times 5,19]+19=\\
& = 19\times 5+19= 19\times 6, \\
X_4 = \left[X_3,X_2\right]+X_2 & =\left[19\times 6,19\times
5\right]+19\times 5=\\
& =19(6\times5+5)= 19\times35, \\
X_5=\left[X_4,X_3\right]+X_3 & = \left[19\times 35,19\times 6\right]+19\times35=\\
& = 19(35\times6+35)=19\times 245.
\end{eqnarray*}
\]
Posons $X_n=19Y_n$. On a donc $Y_1=1$ et $Y_2=5$.
Par récurrence, on voit que $Y_n$ et $Y_{n+1}$
sont premiers entre eux.
Nous avons
$\left[Y_n,Y_{n+1}\right]=Y_n\times Y_{n+1}$, donc:
\[
\begin{eqnarray*}
X_{n+2} &=&\left[X_{n+1},X_n\right]+X_n=\left[19Y_{n+1},19Y_{n}\right]+19Y_n=\\
&=&19Y_{n}\times Y_{n+1}+19Y_n=19Y_n(Y_{n+1}+1).
\end{eqnarray*}
\]
Par conséquent, $Y_{n+2}=Y_n(Y_{n+1}+1)$. Donc le plus grand commun
diviseur de $Y_{n+2}$ et $Y_{n+1}$ est
$\left(Y_{n+2},Y_{n+1}\right)=\left(Y_n(Y_{n+1}+1),Y_{n+1}\right)=1$. Donc le plus grand commun diviseur de $X_{2018}$ et $X_{2019}$ est 19.
Post-scriptum : Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.
Disponible en librairie et sur www.pug.fr
Para citar este artículo:
Ana Rechtman
— «Octobre 2019, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019
Comentario sobre el artículo
Octobre 2019, 1er défi
le 4 de octubre de 2019 à 09:29, par bapt_23
Octobre 2019, 1er défi
le 4 de octubre de 2019 à 12:49, par Celem Mene
Octobre 2019, 1er défi
le 4 de octubre de 2019 à 13:01, par Niak