Octobre 2019, 1er défi

Le 4 octobre 2019 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 40

« J’ai toujours eu 45 ans de plus que ton père » dit une grand-mère à son petit-fils.
« Mais aujourd’hui, les deux chiffres de mon âge sont exactement les mêmes que ceux de ton père. Et en plus nos deux âges sont divisibles par 9 ! »
Quel âge a la grand-mère ?

Solution du 4e défi de septembre :

Enoncé

La solution est $19$.

Construisons les premiers termes de la suite :

\[ \begin{eqnarray*} X_3 = \left[X_2,X_1\right]+X_1 & = [95,19]+19= [19\times 5,19]+19=\\ & = 19\times 5+19= 19\times 6, \\ X_4 = \left[X_3,X_2\right]+X_2 & =\left[19\times 6,19\times 5\right]+19\times 5=\\ & =19(6\times5+5)= 19\times35, \\ X_5=\left[X_4,X_3\right]+X_3 & = \left[19\times 35,19\times 6\right]+19\times35=\\ & = 19(35\times6+35)=19\times 245. \end{eqnarray*} \]

Posons $X_n=19Y_n$. On a donc $Y_1=1$ et $Y_2=5$.
Par récurrence, on voit que $Y_n$ et $Y_{n+1}$
sont premiers entre eux.

Nous avons
$\left[Y_n,Y_{n+1}\right]=Y_n\times Y_{n+1}$, donc :

\[ \begin{eqnarray*} X_{n+2} &=&\left[X_{n+1},X_n\right]+X_n=\left[19Y_{n+1},19Y_{n}\right]+19Y_n=\\ &=&19Y_{n}\times Y_{n+1}+19Y_n=19Y_n(Y_{n+1}+1). \end{eqnarray*} \]

Par conséquent, $Y_{n+2}=Y_n(Y_{n+1}+1)$. Donc le plus grand commun
diviseur de $Y_{n+2}$ et $Y_{n+1}$ est
$\left(Y_{n+2},Y_{n+1}\right)=\left(Y_n(Y_{n+1}+1),Y_{n+1}\right)=1$. Donc le plus grand commun diviseur de $X_{2018}$ et $X_{2019}$ est 19.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Octobre 2019, 1er défi

le 4 octobre 2019 à 09:29, par bapt_23

Il suffit de trouver un nombre présent dans la table de 9 qui après soustraction de 45 donne un nombre avec les chiffres de départ inversés.

Table de 9 :
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90

Or, 72- 45 = 27.

La grand-mère a donc 72 ans !
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Octobre 2019, 1er défi

le 4 octobre 2019 à 12:49, par Celem Mene

La grand-mère a 72 ans.

On peut représenter les deux chiffres identiques de son âge et ceux de son fils par x et y, en indiquant leur différence d’âge de 45 ans, comme suit :

10x + y = x + 10y + 45

Une fois résolu, nous obtenons :

x - y = 5

Comme les deux âges sont divisibles par 9 :

x + y = 9

En additionnant les deux dernières équations, nous obtenons :

2x = 14

et donc

x = 7

et

y = 2

soit 72 ans pour la grand-mère et 27 ans pour son fils.
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Octobre 2019, 1er défi

le 4 octobre 2019 à 13:01, par Niak

Comme les deux âges sont divisibles par 9 : x + y = 9

Pour être complet, $9$ divise $x+y$, donc on pourrait également avoir $x+y=18$ (je passe sur $0$...), mais évidemment la seule possibilité $x=y=9$ est alors vite écartée.
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