Un défi par semaine

Octobre 2019, 3e défi

Le 18 octobre 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
Lire l'article en  

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente !

Semaine 42

Notons ABCDEFGH les sommets du cube de côté 1. Quel est le volume du tétraèdre ACFH ?

Solution du 2e défi d’octobre :

Enoncé

La solution est $49\,500$.

À chaque nombre palindrome $aba$ avec $a\neq 0$ et $b\neq 0$
ses chiffres, on associe le nombre palindrome
$(10-a)(10-b)(10-a)$.

La somme de $aba$ et $(10-a)(10-b)(10-a)$ est
\[ \begin{eqnarray*} (100a+10b+a) &+& (100(10-a)+10(10-b)+(10-a)) = \\ & =& 10(100+10+1)\\ & = & 1110. \end{eqnarray*} \]

Il y a $9\times 9=81$ nombres palindromes avec $a\neq 0$ et $b\neq 0$. La somme de ces 81 nombres vaut donc $\frac{81\times 1110}{2}=44\,955$, où l’on divise par deux car on compte chaque
nombre deux fois dans la somme.

Il reste à ajouter la somme de tous
les nombres palindromes de la forme $a0a$ avec $a\neq 0$ : $909+808+\cdots+101=4\,545$. Donc la somme de tous les nombres palindromes à 3 chiffres est $44\,955+4\,545=49\,500$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Partager cet article

Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Octobre 2019, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - REDPIXEL.PL / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • Octobre 2019, 3e défi

    le 18 octobre 2019 à 08:00, par Al_louarn

    Le complémentaire de $ACFH$ dans le cube est formé de $4$ tétraèdres identiques, ayant chacun $3$ aretes de longueur $1$ et $3$ aretes de longueur $\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$.
    On peut rassembler ces $4$ morceaux pour former une pyramide à base carrée dont les $6$ aretes sont de longueur $\sqrt{2}$.
    En collant $2$ copies de cette pyramide sur leurs bases carrées on forme un octaèdre régulier d’arete $\sqrt{2}$.
    Sachant que le volume d’un octaèdre régulier d’arete $a$ est $\dfrac{\sqrt{2}a^3}{3}$, le nôtre a donc pour volume $\dfrac{\sqrt{2}^4}{3}=\dfrac{4}{3}$.
    Le volume de notre pyramide est donc $\dfrac{2}{3}$, et comme celui du cube est $1^3=1$, le volume de $ACFH$ est $1-\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$.

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?